Udowodnij rozbieżność

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Jerzy_q
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 300
Rejestracja: 6 lut 2009, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 39 razy

Udowodnij rozbieżność

Post autor: Jerzy_q » 16 lip 2011, o 21:33

Dany jest rosnący ciąg \(\displaystyle{ S_n}\) taki, że \(\displaystyle{ S_{2n} \geq S_n +1/2}\). Wykaż, że ciąg jest rozbieżny.

Szukam jakiegoś szybkiego sposobu, żeby pokazać, że \(\displaystyle{ \exists n: S_n \mbox{ jest dowolnie duże}}\).

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Udowodnij rozbieżność

Post autor: Lorek » 16 lip 2011, o 21:44

W zasadzie to wynik można od razu otrzymać próbując udowodnić to niewprost. A co do szacowania spróbuj oszacować \(\displaystyle{ S_n}\) gdy \(\displaystyle{ n\in\{2^k,2^k+1,2^k+2,...,2^{k+1}-1\}}\)

brzoskwinka1

Udowodnij rozbieżność

Post autor: brzoskwinka1 » 16 lip 2011, o 21:47

\(\displaystyle{ S_{2^k} \ge S_{2^{k-1}} +\frac{1}{2} \ge ... \ge S_{1} +\frac{k}{2}}\)

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Udowodnij rozbieżność

Post autor: fon_nojman » 17 lip 2011, o 00:44

Warunek Cauchy'ego
\(\displaystyle{ |S_{2n}-S_n| \ge 1/2.}\)

ODPOWIEDZ