Udowodnij rozbieżność

[Jerzy_q]

Dany jest rosnący ciąg \(\displaystyle{ S_n}\) taki, że \(\displaystyle{ S_{2n} \geq S_n +1/2}\). Wykaż, że ciąg jest rozbieżny.

Szukam jakiegoś szybkiego sposobu, żeby pokazać, że \(\displaystyle{ \exists n: S_n \mbox{ jest dowolnie duże}}\).

[Lorek]

W zasadzie to wynik można od razu otrzymać próbując udowodnić to niewprost. A co do szacowania spróbuj oszacować \(\displaystyle{ S_n}\) gdy \(\displaystyle{ n\in\{2^k,2^k+1,2^k+2,...,2^{k+1}-1\}}\)

[brzoskwinka1]

\(\displaystyle{ S_{2^k} \ge S_{2^{k-1}} +\frac{1}{2} \ge ... \ge S_{1} +\frac{k}{2}}\)

[fon_nojman]

Warunek Cauchy'ego
\(\displaystyle{ |S_{2n}-S_n| \ge 1/2.}\)