Przebieg zmienności funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Przebieg zmienności funkcji

Post autor: Quaerens » 16 lip 2011, o 18:36

\(\displaystyle{ f(x)=2xe^{-x}}\)

Oczywiście asymptot pionowych nie ma bo dziedzina to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Natomiast poziome, to tylko granica w plus nieskończoności wychodzi 0, czyli jako liczba rzeczywista, natomiast w - nieskończoności już jest (-nieskończoność), czyli poziomych też nie posiada, a ukośnych tym bardziej?
Ostatnio zmieniony 16 lip 2011, o 19:44 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Zmiana nazwy tematu

miodzio1988

Przebieg zmienności funkcji

Post autor: miodzio1988 » 16 lip 2011, o 18:40

No jedną poziomą posiada..

Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Przebieg zmienności funkcji

Post autor: Quaerens » 16 lip 2011, o 18:47

\(\displaystyle{ y=0}\)?
Ostatnio zmieniony 16 lip 2011, o 19:44 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: klamry [latex][/latex]

miodzio1988

Przebieg zmienności funkcji

Post autor: miodzio1988 » 16 lip 2011, o 18:52

zgadza się

Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Przebieg zmienności funkcji

Post autor: Quaerens » 16 lip 2011, o 19:20

Było mi to potrzebne do przebiegu, teraz nadszedł czas na tabelkę i mam problem. Piszę analizę pierwszej i drugiej pochodnej:

\(\displaystyle{ f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1 \\ f'(x)>0 \Leftrightarrow x<1 \Leftrightarrow x\in (-\infty;1) \\ f'(x)<0 \Leftrightarrow x>1 \Leftrightarrow x \in (1;+\infty)}\)

Druga:

\(\displaystyle{ f''(x)=0 \Leftrightarrow x=2 \\ f''(x)>0 \Leftrightarrow x>2 \Leftrightarrow x \in (2,+\infty) \\ f''(x)<0 \Leftrightarrow x<2 \Leftrightarrow x \in(-\infty;2)}\)

Nie wiem jak mam skonstruować tabelkę z przedziałami.

R1990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 639
Rejestracja: 25 lis 2010, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sochaczew
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 19 razy

Przebieg zmienności funkcji

Post autor: R1990 » 17 lip 2011, o 11:46

Trzy przedziały. \(\displaystyle{ (- \infty ,1) \cup (1,2) \cup (2, \infty )}\)

Dobrze?
Ostatnio zmieniony 17 lip 2011, o 11:48 przez R1990, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 427 razy

Przebieg zmienności funkcji

Post autor: Inkwizytor » 17 lip 2011, o 11:47

bład w zapisie przedziałów

Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Przebieg zmienności funkcji

Post autor: Quaerens » 17 lip 2011, o 16:36

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|rc|ccccc} \hline x & (-\infty,1) & 1 & (1,2) & 2 & (2,\infty) \\ f'(x) & + & 0 & \# & \# & - \\ \hline f''(x) & - & \# & \# & 0 & + \\ \hline f(x) & & \\ \hline \end{tabular}}\)

Coś takiego?

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Przebieg zmienności funkcji

Post autor: Majeskas » 17 lip 2011, o 19:33

Prawie. Ja bym dał znak "-" na przedziale \(\displaystyle{ \left( 1,2\right)}\) dla obu pochodnych. Nic nie wypełniłeś w rubryce \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\), a przecież dwie powyższe służą przede wszystkim wyciągnięciu wniosków w trzeciej.

Pozdrawiam.

Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Przebieg zmienności funkcji

Post autor: Quaerens » 17 lip 2011, o 20:02

Majeskas, bo za bardzo nie wiem co wpisać bo nie mam jeszcze wprawy-- 17 lipca 2011, 20:24 --I ta tabelka chyba trochę nie halo ponieważ nie mogę zaznaczyć na niej, że ma asymptotę poziomą w 0

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Przebieg zmienności funkcji

Post autor: Majeskas » 17 lip 2011, o 20:53

W takiej porządnej tabelce na ogół rysuje się uproszczone fragmenty wykresu na danych przedziałach. Najlepiej znajdź sobie gdzieś w internecie przykład takiej tabelki i opierając się na nim, wypełnij do końca swoją.
Quaerens pisze:
I ta tabelka chyba trochę nie halo ponieważ nie mogę zaznaczyć na niej, że ma asymptotę poziomą w 0
Po pierwsze ta funkcja nie ma asymptoty poziomej w 0, tylko asymptotę poziomą w \(\displaystyle{ + \infty}\) o wzorze \(\displaystyle{ y=0}\). Po drugie informację o tym można zawrzeć w tabelce, tylko na to jest miejsce w rubryczce \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\).

Pozdrawiam.

Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Przebieg zmienności funkcji

Post autor: Quaerens » 17 lip 2011, o 20:55

Majeskas, mógłbyś mi dokończyć f(x)..?

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Przebieg zmienności funkcji

Post autor: Majeskas » 17 lip 2011, o 21:16

No właśnie sęk w tym, że nie ma takiej technicznej możliwości, żebym to dokończył. Bo w poszczególnych kratkach rysuje się umowne kształty wykresu w danych przedziałach, zaznaczając przy tym wartości na ich krańcach. Choćby tu jest przykład, choć to na pewno nie jedyne miejsce. Poszukaj trochę.

http://www.bryk.pl/teksty/liceum/pozost ... nkcji.html

Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Przebieg zmienności funkcji

Post autor: Quaerens » 17 lip 2011, o 22:09



W porządku?

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Przebieg zmienności funkcji

Post autor: Majeskas » 17 lip 2011, o 22:41

Tak sobie. W pierwszej kratce mamy wykres funkcji wklęsłej i rosnącej, więc kształt jest ok. \(\displaystyle{ - \infty}\) powinna być na dole strzałki, a \(\displaystyle{ \frac{2}{e}}\) (wartość funkcji w \(\displaystyle{ x_0=1}\)) na górze. Doczytałem się, że w następnej kratce jest "max". Dobrze, można jeszcze, gwoli przyzwoitości, podać wartość tego maksimum, czyli po prostu wartość funkcji w jedynce. Kolejnej kratki nie rozumiem. Tam powinien być wykres funkcji wklęsłej i malejącej. Na górze strzałki \(\displaystyle{ \frac{2}{e}}\), na dole ile? W kratce z dwójką też jest jakiś niezidentyfikowany obiekt. Powinno być po prostu "punkt przegięcia" i ewentualnie wartość funkcji w tym punkcie. Ostatnia kratka jest źle. Przede wszystkim tutaj zmienia się charakter wypukłości. Funkcja nadal maleje, ale w sposób wypukły, czyli strzałka w dół, lecz wygięta w drugą stronę. Poza tym ta \(\displaystyle{ + \infty}\) jest tam od czapy. Może miałeś na myśli kraniec dziedziny, ale przy tych strzałkach dopisuje się granice funkcji (czyli w punktach ciągłych de facto wartości), bo to nas tak naprawdę interesuje. To, że w \(\displaystyle{ + \infty}\) kończy się dziedzina funkcji, wiemy z przedziałów, jakie zapisaliśmy na górze tabelki. W ostatniej kratce jest miejsce na Twoje pytanie o asymptotę. Pisząc na dole strzałki \(\displaystyle{ 0}\) podajemy informację, że funkcja ma w \(\displaystyle{ + \infty}\) asymptotę poziomą \(\displaystyle{ y=0}\).

Także jest co poprawiać.

Powodzenia.

ODPOWIEDZ