[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
abc666

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: abc666 » 16 lip 2011, o 22:10

Coś nie tak z tym zadaniem jest
Ukryta treść:    

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: » 16 lip 2011, o 22:27

abc666 pisze:że wszystkie wsp. są podzielne przez \(\displaystyle{ m}\)
Niekoniecznie, weź chociażby \(\displaystyle{ m=2}\) i wielomian \(\displaystyle{ x^2+x+2}\). Wtedy dostaniemy podzielność przez \(\displaystyle{ m}\) jedynie \(\displaystyle{ a_0}\). Ale to oczywiście wystarcza, także w wersji z wymiernymi współczynnikami (a nie całkowitymi).

W takim razie jednak powinno zostać \(\displaystyle{ a_n\cdot n!}\) (czyli inaczej niż mam na kartce, ale tak jak napisałem początkowo). I na oko wygląda na to, że współczynniki mogą być też wymierne, na przykład wielomian \(\displaystyle{ \frac{x^3-x}{2}}\) jest podzielny przez trzy i \(\displaystyle{ \frac 12 \cdot 3!}\) też jest podzielne przez trzy.

Q.

Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 427 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: Inkwizytor » 17 lip 2011, o 09:52

16.
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 17 lip 2011, o 17:58 przez Inkwizytor, łącznie zmieniany 1 raz.

Django
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 200
Rejestracja: 25 sty 2009, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa/Kraków
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 12 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: Django » 17 lip 2011, o 11:49

5.
Ukryta treść:    
Na marginesie - zastanawiam się nad zad. 22 - posiedziałem sobie już trochę nad nim i wydaje mi się, że bez ostrej sieczki - rozwiązanie przedstawione przez kolegę ordyh - nie ma ładnej, eleganckiej wzorcówki.
Choć bardzo chętnie bym ją ujrzał
Pzdr

ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: ordyh » 17 lip 2011, o 14:07

zad. 9.:    
Ostatnio zmieniony 17 lip 2011, o 18:57 przez ordyh, łącznie zmieniany 3 razy.

Awatar użytkownika
limes123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 666
Rejestracja: 21 sty 2008, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ustroń
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 93 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: limes123 » 17 lip 2011, o 17:41

W 22 nie ma informacji, ze x jest rzeczywiste. Domyslnie jest? Pytam, bo jesli nie to rozwiazanie ordyha nie dziala.

ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: ordyh » 17 lip 2011, o 18:15

Hmm, no rzeczywiście, wtedy ta nierówność nie działa, założyłem, że jest rzeczywiste z tego względu, że teraz na omie nie ma liczb zespolonych.
zad. 12.:    
Dodane później, żeby nie dublować:
zad. 3.:    

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: Lorek » 18 lip 2011, o 21:51

zad. 22. trochę inaczej:    

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: » 18 lip 2011, o 22:32

Zdecydowanie ładniej ;).

Zadanie w \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) wyglądałoby tak samo, ale teza byłaby nieprawdziwa. Na przykład jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest pierwiastkiem trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ -1}\) (różnym od \(\displaystyle{ -1}\)), to:
\(\displaystyle{ x^2-x=x^8-x=-1\in\mathbb{Z}}\)
a \(\displaystyle{ x}\) ewidentnie nie jest całkowity.
Stąd należy domniemywać, że jest milczące założenie o rozpatrywaniu sytuacji w zbiorze liczb rzeczywistych.

Q.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: Lorek » 18 lip 2011, o 23:11

Hm myślałem raczej czy może za "całkowite" uznajemy wtedy liczby Gaussa, ale widzę, że i to by nie przeszło.

ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: ordyh » 19 lip 2011, o 12:38

zad. 18.:    

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1536
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 436 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: timon92 » 25 lip 2011, o 21:28

no to może 17:
Ukryta treść:    

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: » 25 lip 2011, o 22:19

Przedostatnie niegeometryczne:
Zadanie 14:    
Q.

KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: KPR » 2 sie 2011, o 00:10

8:    

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: Marcinek665 » 27 gru 2011, o 05:45

2:    
Prosiłbym, żeby ktoś kompetentny wrzucił rozwiązanie syntetyczne, bo siedziałem pół nocy nad nim, ale się nie udało. A jako że uparłem się, że to zrobię, to zrobiłem właśnie tak

ODPOWIEDZ