[Nierówności] Chyba trudniejsza nierówność.

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

[Nierówności] Chyba trudniejsza nierówność.

Post autor: Marcinek665 » 15 lip 2011, o 19:32

Ostatnio sobie pomyślałem, żeby sobie trochę poprzypominać nierówności i trafiłem na coś cięższego. Dla dodatnich:

\(\displaystyle{ \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2} + \frac{1}{b^2 + c^2 + d^2} + \frac{1}{c^2 + d^2 + a^2} + \frac{1}{d^2 + a^2 + b^2} \ge \frac{12}{(a+b+c+d)^2}}\)

Od razu powiem, że CS w formie Engela nie działa ;p

Awatar użytkownika
Burii
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 5 maja 2011, o 23:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedliska/Tarnów
Pomógł: 3 razy

[Nierówności] Chyba trudniejsza nierówność.

Post autor: Burii » 26 lip 2011, o 19:01

Niech \(\displaystyle{ c=min\left\{a, b, c \right\}}\) wówczas:

\(\displaystyle{ a^2 + c^2 \le (a+ \frac{c}{2})^2=x^2}\)

\(\displaystyle{ b^2 + c^2 \le (b+ \frac{c}{2})^2=y^2}\)

\(\displaystyle{ a^2 + b^2 \le (a+ \frac{c}{2})^2 + (b+ \frac{c}{2})^2= x^2 + y^2}\)

\(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 \le x^2 + y^2}\)
zatem należy pokazać iż: \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2 + y^2} + \frac{1}{y^2 + d^2} + \frac{1}{x^2 + d^2} + \frac{1}{x^2 + y^2 + d^2} \ge \frac{12}{(x + y + d)^2}}\)

Niech teraz \(\displaystyle{ x=min\left\{ x,y,d\right\}}\) wówczas:

\(\displaystyle{ y^2 + x^2 \le (y + \frac{x}{2})^2 = A^2}\)

\(\displaystyle{ d^2 + x^2 \le (d + \frac{x}{2})^2 = B^2}\)

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 \le (y + \frac{x}{2})^2 + (d + \frac{x}{2})^2 = A^2 + B^2}\)

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 + d^2 \le A^2 + B^2}\)
Zatem należy pokazać iż: \(\displaystyle{ \frac{1}{A^2 + B^2} + \frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{A^2 + B^2} \le \frac{12}{(A + B)^2}}\) co po redukcji daje:
\(\displaystyle{ \frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{2}{A^2 + B^2} - \frac{12}{(A + B)^2} \ge 0}\)

Lecz ostatnie wyrażenie jest równe : \(\displaystyle{ \frac{(A-B)^2(A^4 + B^4 + 4A^3B + 4AB^3)}{A^2B^2(A+B)^2(A^2+B^2)} \ge 0}\) co kończy dowód.

ODPOWIEDZ