[Planimetria] 3 okręgi styczne zewnętrznie

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Planimetria] 3 okręgi styczne zewnętrznie

Post autor: Swistak » 14 lip 2011, o 20:39

Dane są 3 okręgi \(\displaystyle{ o_1, o_2, o_3}\) takie, że \(\displaystyle{ o_1}\) jest styczny zewnętrznie do \(\displaystyle{ o_2}\) w punkcie P, a \(\displaystyle{ o_2}\) jest styczny zewnętrznie do \(\displaystyle{ o_3}\) w punkcie Q. Ponadto okręgi \(\displaystyle{ o_1}\) i \(\displaystyle{ o_3}\) nie są przystające i punkt przecięcia ich wspólnych stycznych zewnętrznych oznaczmy przez R. Udowodnij, że P, Q, R są współliniowe. Zaznaczam, że nie interesują mnie dowody używające tw. o złożeniu jednokładności ; p.

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

[Planimetria] 3 okręgi styczne zewnętrznie

Post autor: » 14 lip 2011, o 21:27

Rozwiązanie:    
Q.

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Planimetria] 3 okręgi styczne zewnętrznie

Post autor: Swistak » 14 lip 2011, o 21:40

Rozwiązanie oczywiście jest dobre, choć mam cichą nadzieję, że ktoś wpadnie na rozwiązanie, które mam na myśli (dlatego napisałem, że nie chcę z tw. o złożeniu jednokładności, ale z Menelaosa nie znałem ; p).

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1536
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 436 razy

[Planimetria] 3 okręgi styczne zewnętrznie

Post autor: timon92 » 15 lip 2011, o 07:37

Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Planimetria] 3 okręgi styczne zewnętrznie

Post autor: Swistak » 15 lip 2011, o 12:38

Świetnie . Ale pewnie pamiętałeś, jak gadałem o tym na Zwardoniu xD. Ale jak nie, to gratki ; p. Przy czym jednak to rozwiązanie, mimo tego, że moim zdaniem najładniejsze, to ma jedną wadę. Jeżeli uogólnimy to zadanie na takie, w którym te okręgi nie są styczne, a punkty P i Q są środkami jednokładności o skali ujemnej, to tw. o złożeniu jednokładności pracuje bez najmniejszej zmiany, do Menelaosa trzeba dorzucić 2 bardzo oczywiste stosunki, a inwersję nie wiem, czy w ogóle da się uratować :<.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1536
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 436 razy

[Planimetria] 3 okręgi styczne zewnętrznie

Post autor: timon92 » 15 lip 2011, o 15:11

Nie pamiętałem ;p

ODPOWIEDZ