Obliczenie współrzędnych końca wektora.

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
wizard144
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 31 mar 2011, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: pl
Podziękował: 1 raz

Obliczenie współrzędnych końca wektora.

Post autor: wizard144 » 14 lip 2011, o 14:58

Witam.

Piszę pewien program i mam pewien problem.
Niektórzy z was pewnie mieli styczność z Logo (polska edycja Imagine).

Otóż chcę zrobić coś podobnego (czysto w celach edukacyjnych).

I teraz mam takie pytanie. Znając początek wektora i jego długość, a także mając wzór prostej która zawiera ten "wektor" czy jest możliwe w jakiś prosty sposób ustalenie współrzędnych wektora ?

Zakładając że punkt który chce przesunąć ma współrzędne (3;4) a długość wektora to 90.

Proszę o ewentualne rady jak i gotowe odpowiedzi.

Pozdrawiam.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Obliczenie współrzędnych końca wektora.

Post autor: aalmond » 14 lip 2011, o 15:08

np. tak
\(\displaystyle{ \begin{cases} y = ax+b \\ (x-3)^{2} +(y-4)^{2}= 90^{2} \end{cases}}\)
ale to nie jedyny sposób

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Obliczenie współrzędnych końca wektora.

Post autor: Majeskas » 14 lip 2011, o 15:45

Każdą prostą w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) można przedstawić jako \(\displaystyle{ k=p+lin\left( \alpha \right)}\).
\(\displaystyle{ p}\) jest dowolnym punktem tej prostej, \(\displaystyle{ \alpha}\) jest jej wektorem kierunkowym. Skoro wektor, o którym mówisz zawiera się w tej prostej, tzn., że \(\displaystyle{ \beta \in lin\left( \alpha \right)}\), czyli \(\displaystyle{ \exists t \in \mathbb{R}:\quad \beta =t \alpha}\)

\(\displaystyle{ \left| \left| \beta \right| \right|=\left| t\right| \cdot \left| \left| \alpha \right| \right|}\)

\(\displaystyle{ \left| t\right|= \frac{\left| \left| \beta \right| \right| }{\left| \left| \alpha \right| \right| }}\)

\(\displaystyle{ t=\frac{\left| \left| \beta \right| \right| }{\left| \left| \alpha \right| \right| } \ \vee \ t=-\frac{\left| \left| \beta \right| \right| }{\left| \left| \alpha \right| \right| }}\)

Istnieją zatem 2 wektory spełniające Twoje warunki. Przy czym punkt zaczepienia nie był, jak widać, potrzebny.

\(\displaystyle{ \beta _1=\frac{\left| \left| \beta \right| \right| }{\left| \left| \alpha \right| \right| } \alpha}\)

\(\displaystyle{ \beta _2=-\frac{\left| \left| \beta \right| \right| }{\left| \left| \alpha \right| \right| } \alpha}\)

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Obliczenie współrzędnych końca wektora.

Post autor: aalmond » 14 lip 2011, o 16:31

aalmond pisze:np. tak
\(\displaystyle{ \begin{cases} y = ax+b \\ (x-3)^{2} +(y-4)^{2}= 90^{2} \end{cases}}\)
ale to nie jedyny sposób
II sposób.
Jeżeli początek wektora znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ ( x_{p}, y_{p})}\), a prosta ma równanie: \(\displaystyle{ y = ax+b}\), to:

\(\displaystyle{ x_{k1}= d \cdot \cos ( \arctan (a)) + x_{p}\\ x_{k2}= d \cdot \cos ( \arctan (a )+ \pi ) + x_{p} \\}\)

gdzie \(\displaystyle{ d}\) - długość wektora

\(\displaystyle{ y_{k1} = a \cdot x_{k1}+b \\ y_{k2} = a \cdot x_{k2}+b}\)

ODPOWIEDZ