Przebieg zmienności funkcji (sin i cos)

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
WSzaman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 14 lip 2011, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Osada
Podziękował: 1 raz

Przebieg zmienności funkcji (sin i cos)

Post autor: WSzaman » 14 lip 2011, o 13:15

Witam,
mam takie zadanie i kilka pytań do niego:

Zbadaj przebieg zmienności funkcji:

\(\displaystyle{ f(x) = \sin ^{4} \left( x\right) + \cos ^{4} \left( x\right)}\)

1. Dziedzina rzeczywiste
2. Granice: coś pomiędzy (0,2), tego się nie da obliczyć jeżeli dobrze myślę, rozbieżna tak?
3. Asymptoty: brak
4. Punkty przecięcia z osiami układu: miejsc zerowych brak, przecięcie wykresu z OY w y=1
5. Parzysta? Okres \(\displaystyle{ \pi}\) ? \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) ?
6. \(\displaystyle{ f'\left( x\right) = \sin\left( x\right) \cdot \cos\left( x\right)}\) z czego wywnioskowałem minimum w \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) co raczej jest bzdurą i max w 0 co prawdopodobnie się zgadza.
7. \(\displaystyle{ f''\left( x\right) = \cos ^{2} \left( x\right) - \sin ^{2} \left( x\right)}\) - przegięcie w \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\)?? w tej f. chyba nie ma przegięć a w tym punkcie powinno być moim zdaniem minimum.


więc..
Coś robię (bardzo) źle tylko jestem początkujący w tym temacie i nie bardzo wiem co ;p
Ostatnio zmieniony 2 sie 2011, o 22:54 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa zapisu funkcji trygonometrycznych.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23177
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3160 razy

Przebieg zmienności funkcji (sin i cos)

Post autor: piasek101 » 14 lip 2011, o 13:28

\(\displaystyle{ f(x)=( \sin ^ 2x+ \cos ^ 2x)^2-2 \sin ^ 2x \cos ^ 2x=...}\)

Będzie ,,łatwiejsza".
Ostatnio zmieniony 2 sie 2011, o 22:55 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa zapisu funkcji trygonometrycznych.

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Przebieg zmienności funkcji (sin i cos)

Post autor: Majeskas » 14 lip 2011, o 13:31

Przede wszystkim:

\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \sin ^4x+\cos ^4x=\sin ^4x+\cos ^4x+2\sin^2x \cos^2x-2\sin^2x \cos^2x=\\=\left( \sin^2x+\cos^2x\right)^2- 2\sin^2x \cos^2x=1- \frac{1}{2} \cdot 4\sin^2x \cos^2x=1- \frac{1}{2}\sin^22x}\)

Funkcję w takiej postaci o wiele łatwiej rozważać i nie trzeba do tego tradycyjnych metod badania przebiegu funkcji. Wystarczy umiejętnie poprzekształcać wykres.

1. Dobrze

2. Nie. To jest funkcja okresowa, nie ma więc granicy w \(\displaystyle{ \pm \infty}\).

3. Tak

4. Tak

5. Parzysta.

6. \(\displaystyle{ f^{\prime}\left( x\right)=-2\sin2x \cos2x=-\sin4x}\)

7. \(\displaystyle{ f^{\prime \prime}\left( x\right)=-4\cos4x}\)


Choć moim zdaniem punkty 6 i 7 są zupełnie zbędne, kiedy mamy wyprowadzony przeze mnie wzór funkcji.
Ostatnio zmieniony 14 lip 2011, o 13:55 przez Majeskas, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Przebieg zmienności funkcji (sin i cos)

Post autor: pyzol » 14 lip 2011, o 13:36

5. Nie jest parzysta i nie jest nieparzysta, co widać od razu po wzorze, który zapisałem.
Widać na starcie, że jest parzysta...

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Przebieg zmienności funkcji (sin i cos)

Post autor: Majeskas » 14 lip 2011, o 13:41

Święta racja. Jakoś krzywo spojrzałem. Post poprawiony.

WSzaman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 14 lip 2011, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Osada
Podziękował: 1 raz

Przebieg zmienności funkcji (sin i cos)

Post autor: WSzaman » 14 lip 2011, o 14:12

Dzięki za wskazówki

ODPOWIEDZ