Pole trojkata i uzycie sinusa do obliczenia

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
oskar11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 97
Rejestracja: 17 lip 2011, o 22:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1 raz

Pole trojkata i uzycie sinusa do obliczenia

Post autor: oskar11 » 17 lip 2011, o 23:17

Witam!

Nie chciałem zakładać nowego wątku, ale mam pewne pytanie, co do oznaczenia trójkątów.

Czy został na podstawie umowy przyjęty jakiś sposób?

Np tak:


Zmierzam do tego, że kilka postów wyżej jeden z użytkowników napisał:
Lbubsazob pisze: Do tego zadania nie jest potrzebne twierdzenie sinusów, wystarczy wykorzystać wzór \(\displaystyle{ P_{\triangle}= \frac{1}{2}ab\sin\alpha}\) , gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem między bokami \(\displaystyle{ a}\) i\(\displaystyle{ b}\) .
Tutaj mam pewne wątpliwości, bo jeżeli kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) miałby być zawarty pomiędzy bokami a i b, wtedy powyższy wzór nie byłby poprawny.

Jeżeli dla takiego trójkąta poprowadzilibyśmy wysokość, to kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) zostałby podzielony na 2 kąty o mierze 60 stopni.



No i jeżeli ten kąt 60 stopni dalej będzie oznaczony jako\(\displaystyle{ \alpha}\) to wysokość wyniosłaby \(\displaystyle{ h=cos \alpha \cdot b}\)

Dla tego pierwszego obrazka faktycznie mielibyśmy wzór jak w cytacie. Zatem jak to jest z tymi oznaczeniami? Jeżeli np. na maturze mielibyśmy trójkąt oznaczony inaczej, a w karcie wzorów postać: \(\displaystyle{ P_{\triangle}= \frac{1}{2}ab\sin\alpha}\) to nie byłoby to zbyt użyteczne (chyba, że jako objaśnienie do takiego rysunku jak ten pierwszy).

Byłbym wdzięczny, jakby ktoś to wyjaśnił.

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Pole trojkata i uzycie sinusa do obliczenia

Post autor: Majeskas » 17 lip 2011, o 23:53

Trójkąt, który podałeś na początku jest oznaczony wedle ogólnie przyjętych standardów, tzn.:

-wierzchołki nazywamy kolejnymi dużymi literami alfabetu łacińskiego poczynając od \(\displaystyle{ A}\) w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

-kąty (lub miary kątów) określamy kolejnymi małymi literami alfabetu greckiego poczynając od \(\displaystyle{ \alpha}\), przy czym kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\), kąt \(\displaystyle{ \beta}\) przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\), itd.

-boki (lub długości boków) określamy kolejnymi małymi literami alfabetu łacińskiego poczynając od \(\displaystyle{ a}\), przy czym bok o długości \(\displaystyle{ a}\) jest naprzeciwko wierzchołka \(\displaystyle{ A}\), bok długości \(\displaystyle{ b}\) jest naprzeciwko wierzchołka \(\displaystyle{ B}\).

Jednak jest to tylko pewna umowa i nieprzestrzeganie jej nie ma żadnych matematycznych skutków. To tylko nazewnictwo. To tak samo jak umową jest, że długość wysokości to \(\displaystyle{ h}\). Ale nikt nie broni nazwać ją w jakimś zadaniu \(\displaystyle{ Y}\) albo na przykład \(\displaystyle{ \lambda}\)

-- 18 lipca 2011, 00:04 --

Trochę nie rozumiem twojego dylematu związanego z jakimś konkretnym trójkątem, w którym znajduje się kąt o mierze \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\). Powiem Ci jednak tyle: wszelkie wzory geometryczne, jakie znajdziesz w tablicach maturalnych (czy jakichkolwiek innych), w których pojawiają się pewne literki, muszą mieć objaśnienia do czego się te literki odnoszą. Albo słowne albo poprzez rysunek.

Dla trójkąta, który podałeś na początku wzór na pole wykorzystujący długości dwóch boków i miarę kąta między nimi, wyglądałby tak:

\(\displaystyle{ S= \frac{1}{2}ab \sin\gamma=\frac{1}{2}ac \sin\beta=\frac{1}{2}bc \sin\alpha}\)

A teraz weźmy trójkąt, w którym przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) jest kąt o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\), przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\) \(\displaystyle{ \delta}\), przy \(\displaystyle{ C}\) \(\displaystyle{ \varepsilon}\), a naprzeciwko wierzchołka \(\displaystyle{ A}\) mamy bok \(\displaystyle{ b}\), naprzeciwko \(\displaystyle{ B}\) \(\displaystyle{ x}\), a \(\displaystyle{ C}\) c.
Jeżeli teraz chcemy użyć wzoru z tablic, musimy zaadaptować nasze oznaczenia i wygląda to następująco:

\(\displaystyle{ S= \frac{1}{2}xc \sin\alpha=\frac{1}{2}xb \sin\varepsilon=\frac{1}{2}bc \sin\delta}\)


Tak więc w kwestii oznaczeń ma się tak naprawdę wolną rękę. Trzeba tylko być konsekwentnym.-- 18 lipca 2011, 02:04 --

Zmierzam do tego, że kilka postów wyżej jeden z użytkowników napisał:
Lbubsazob pisze: Do tego zadania nie jest potrzebne twierdzenie sinusów, wystarczy wykorzystać wzór \(\displaystyle{ P_{\triangle}= \frac{1}{2}ab\sin\alpha}\) , gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem między bokami \(\displaystyle{ a}\) i\(\displaystyle{ b}\) .
Tutaj mam pewne wątpliwości, bo jeżeli kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) miałby być zawarty pomiędzy bokami a i b, wtedy powyższy wzór nie byłby poprawny.
A to dlaczego?

Jeżeli dla takiego trójkąta poprowadzilibyśmy wysokość, to kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) zostałby podzielony na 2 kąty o mierze 60 stopni.
Tak byłoby tylko w trójkącie równoramiennym, a nikt tam nie zakładał, że ten trójkąt ma być równoramienny.

No i jeżeli ten kąt 60 stopni dalej będzie oznaczony jako\(\displaystyle{ \alpha}\)
Nie, takich cudów nie ma. Na tym polega konsekwencja oznaczeń. Jeżeli w zadaniu konkretny kąt nazwaliśmy \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \alpha =120 ^{\circ}}\) i poprowadzilibyśmy jego dwusieczną, to kąt, o którym mówisz nazywałby się \(\displaystyle{ \frac{ \alpha }{2}}\).

ODPOWIEDZ