Matematyka.pl

Mam dwa pytania, ponieważ podczas czytania o ruchu harmonicznym, natrafiłem na dziwne operacje i nie wiem do końca, co się skąd wzięło - jeśli nie sprawi to żadnego kłopotu, bardzo proszę o pomoc... :
1) Pierwsze było takie równanie: \(\displaystyle{ x'u-u'x=C _{1}}\) , gdzie \(\displaystyle{ x'= \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t }}\) oraz \(\displaystyle{ u'= \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}t }}\) i zadaniem było podzielenie tego równania przez \(\displaystyle{ u ^{2}}\) i w rezultacie otrzymano: \(\displaystyle{ ( \frac{x}{u} )'= \frac{C _{1} }{u ^{2} }}\) ---> Dlaczego autor tych obliczeń otrzymał taki wynik... tak jakby pominął przy dzieleniu wyrażenie: \(\displaystyle{ -u'x}\) lub jakby dawało ono \(\displaystyle{ 0}\)...?

2) Drugie to równanie całkowe: \(\displaystyle{ \frac{x}{u} = C _{1} \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2} } + C _{2}}\) i zadaniem było pozbycie się \(\displaystyle{ u}\) z lewej strony równania. W rezultacie otrzymano: \(\displaystyle{ x(t)=C _{1} \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2}(t) } + C _{2} \cdot u(t)}\) --> Ponownie mam takie wrażenie, że podczas mnożenia obu stron równania przez \(\displaystyle{ u}\) autor pominął wyrażenie z całką \(\displaystyle{ C _{1} \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2} }}\)... czy to jest błąd w obliczeniach, czy też nie znana przeze mnie do tej pory operacja matematyczna?

1)
\(\displaystyle{ \left( \frac{x}{u} \right)'= \frac{x'u-u'x}{u^{2}}}\)

Czy tę równość trzeba zapamiętywać, czy jest do tego jakieś schematyczne rozwinięcie...?

Jest to podstawowy wzór na pochodną ilorazu, więc raczej trzeba to zapamiętać

Licz pochodne to sam ci się zapamięta
Najlepiej zanim zajmiesz się fizyką, przerób sobie podstawy rachunku różniczkowego i całkowego

Zajmując się fizyką w trakcie przerabiam rachunek różniczkowy i całkowy (oraz wiele innych materiałów z matematyki wyższej), tylko na ograniczonym poziomie, ponieważ dalej jest mocno skomplikowany... Mimo to jeszcze nie spotkałem się z takim wzorem na pochodną, przerabiałem większość, lecz akurat tego nigdzie nie widziałem, żebym mógł się z nim zapoznać;) Dlatego dziękuje wam za pomoc!!! Bardzo mi się to przyda:)

Odnośnie drugiego równania, jak możecie to podsuńcie mi jakąś małą wskazówkę, czym się kierować, aby otrzymać wynik autora...?

Chciałem zapytać, czy prawdą jest, że: Jeśli \(\displaystyle{ \frac{x}{u} =C _{1} \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2} } +C _{2}}\) to \(\displaystyle{ x(t)=C _{1} \cdot \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2} (t) } +C _{2} u(t)}\)
lub w postaci implikacji:
\(\displaystyle{ \frac{x}{u} =C _{1} \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2} } +C _{2}\Rightarrow x(t)=C _{1} \cdot \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2} (t) } +C _{2} u(t)}\)
?

Mnożysz przez \(\displaystyle{ u(t)}\), czyli
\(\displaystyle{ \frac{x}{u} =C _{1} \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2} } +C _{2}\Rightarrow x(t)=C _{1}u(t) \cdot \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2} (t) } +C _{2} u(t)}\)

No właśnie, to dlaczego w jednym z podręczników o rachunku różniczkowym i całkowym wynik był taki: \(\displaystyle{ x(t)=C _{1} \cdot \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2} (t) } +C _{2} u(t)}\)
? Z góry dziękuję za pomoc:)

W tym podręczniku czytałem wtedy o ruchu harmonicznym i rozwiązaniach równania takiego ruchu...*

A możesz napisać cała zadanie?

Już wszystko się wyjaśniło, to w tym podręczniku popełniono błąd... Dziękuję za pomoc!