Rozklad wektora na składniki ortogonalne

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
PAV38
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 24 paź 2010, o 09:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 2 razy

Rozklad wektora na składniki ortogonalne

Post autor: PAV38 » 13 lip 2011, o 12:14

Witam,
W jaki sposób wyznaczyć rozkład dowolnego wektora na dwa czynniki ortogonalne do siebie?

Mam takie zadanie na to:
Dana jest przestrzeń \(\displaystyle{ W \in R^{3}}\) rozpięta przez wektory \(\displaystyle{ v=(1,1,1) u=(1,0,-1)}\). wyznaczyć rozkład wektora \(\displaystyle{ (3,2,1)}\)

No i w wykładzie mam napisane, że trzeba unormować te dwa wektory ortogonalne z przestrzeni W, czyli:
\(\displaystyle{ u _{1}= \frac{1}{\sqrt{3}} (1,1,1)}\)

\(\displaystyle{ u _{2}= \frac{1}{\sqrt{2}} (1,0,-1)}\)

A następnie zastosować wzór:

\(\displaystyle{ x= P_{w}(x) + (x-P_{w}(x))}\) (czy dla tego zadania, ten x we wzorze, to wektor (3,2,1)??)

\(\displaystyle{ P_{w}(x)= \sum_{j=1}^{k} (x \cdot u_{j}) u_{j}}\)

Czyli dla tego zadania, wg. treści wykładu ten rozkład wyglądałby następująco:

\(\displaystyle{ x= \frac{1}{3}(u_{1} \cdot x) \cdot u_{1} + \frac{1}{2}(u_{2} \cdot x) \cdot u_{2}}\)

No i po obliczeniu wszystkiego dochodzę do tego, że taki rozkład wygląda w ten sposób:

\(\displaystyle{ (3,2,1) = (3,2,1)+(0,0,0)}\)

I taki wynik wchodzi mi w każdym tego typu zadaniu
Np. tym:
\(\displaystyle{ W = (1, 1, 0, 0), (1, −1, 0, 2), (−1, 1, −3, 1), (−1, 1, 1, 1)}\)

Znaleźć rozkład wektora \(\displaystyle{ (1,1,1,1)}\)

Po podstawieniu do tych wzorów znowu mam:
\(\displaystyle{ (1,1,1,1)=(1,1,1,1)+(0,0,0,0)}\)

Prosiłbym, o wyjaśnienie tego zagadnienia. Albo pokazanie na przykładzie, jak to prawidłowo zrobić. Bo jestem pewien, że mój wynik, jest błędny i chyba czegoś w tym wszystkim nie rozumiem do końca.

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Rozklad wektora na składniki ortogonalne

Post autor: » 13 lip 2011, o 12:21

PAV38 pisze:\(\displaystyle{ x= \frac{1}{3}(u_{1} \cdot x) \cdot u_{1} + \frac{1}{2}(u_{2} \cdot x) \cdot u_{2}}\)
No i po obliczeniu wszystkiego dochodzę do tego, że taki rozkład wygląda w ten sposób:
\(\displaystyle{ (3,2,1) = (3,2,1)+(0,0,0)}\)
Pokaż swoje obliczenia, bo wzór jest ok, a Twój wynik nijak się ma do tego wzoru. Rozumiem, że pamiętasz, że w mnożenia w nawiasach to iloczyn skalarny?

Q.

PAV38
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 24 paź 2010, o 09:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 2 razy

Rozklad wektora na składniki ortogonalne

Post autor: PAV38 » 13 lip 2011, o 12:38

Pamiętam

Człon pierwszy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{3}} ((1,1,1)(3,2,1)) \frac{1}{ \sqrt{3}}(1,1,1)= \frac{1}{3}(3+2+1)(1,1,1)=\frac{1}{3} \cdot 6(1,1,1)=(2,2,2)}\)

Człon drugi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2}}((1,0,-1)(3,2,1))\frac{1}{ \sqrt{2}}(1,0,-1)= \frac{1}{2} \cdot 2(1,0,-1)=(1,0,-1)}\)

Suma:
\(\displaystyle{ (2,2,2)+(1,0,-1)=(3,2,1)}\)

Siedzę nad tym już sporo dziś, więc możliwe, że gdzieś powtarzam jeden i ten sam błąd, ale go nie widzę

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Rozklad wektora na składniki ortogonalne

Post autor: » 13 lip 2011, o 12:51

Chodzi po prostu o to, żeby wektor \(\displaystyle{ (3,2,1)}\) zapisać (o ile to możliwe) jako liniową kombinację wektorów \(\displaystyle{ (1,1,1)}\) i \(\displaystyle{ (1,0,-1)}\), tzn. znaleźć \(\displaystyle{ a,b}\) takie, że:
\(\displaystyle{ (3,2,1)=a\cdot (1,1,1)+b\cdot (1,0,-1)}\)

Można to zrobić na piechotę, a można też wykorzystać wzór na rzut wektora. tzn.
\(\displaystyle{ P_{W}(x)= \sum_{j=1}^{k} \frac{x \circ u_{j}}{u_j\circ u_j} \cdot u_{j}}\),
Jeśli licząc zgodnie z tym wzorem dojdziemy do wniosku, że \(\displaystyle{ P_W(x)=x}\), będzie to znaczyło, że \(\displaystyle{ x\in W}\) i od razu dostaniemy też współczynniki do kombinacji liniowej (będą to \(\displaystyle{ \frac{x \circ u_{j}}{u_j\circ u_j}}\)).

Q.

PAV38
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 24 paź 2010, o 09:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 2 razy

Rozklad wektora na składniki ortogonalne

Post autor: PAV38 » 13 lip 2011, o 12:57

Rozumiem. Czyli obliczone było dobrze?

A jeżeli będzie przypadek, że ten wektor nie należy do przestrzeni \(\displaystyle{ W}\)?

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Rozklad wektora na składniki ortogonalne

Post autor: » 13 lip 2011, o 13:07

Właśnie mi przyszło do głowy, że może po prostu nie dość precyzyjnie zapisałeś polecenie.

Bo przyjąłem, że (skoro \(\displaystyle{ u_1,u_2}\) są ortogonalne) chodzi o to by zapisać \(\displaystyle{ w}\) jako liniową kombinację \(\displaystyle{ u_1}\) i \(\displaystyle{ u_2}\), co oczywiście jest możliwe wyłącznie gdy \(\displaystyle{ w\in lin\{u_1,u_2\}}\).

Ale może polecenie powinno brzmieć: rozłóż \(\displaystyle{ x}\) na ortogonalne składniki (nie czynniki, nawiasem mówiąc), z których jeden należy do przestrzeni rozpiętej przez \(\displaystyle{ u_1,u_2}\). W tym wypadku jest sens stosować wzór \(\displaystyle{ x=P_W(x)+(x-P_W(x))}\), bo istotnie te dwa składniki są ortogonalne i istotnie zawsze \(\displaystyle{ P_W(x)\in W}\).
W tej wersji Twoje rozwiązanie nie ma żadnego błędu, bo rozkład:
\(\displaystyle{ (3,2,1)=(3,2,1)+(0,0,0)}\)
spełnia żądane warunki (i co więcej jeśli \(\displaystyle{ x\in W}\), to zawsze rozkład \(\displaystyle{ x=x+\vec{0}}\) będzie ok).
Natomiast w przypadku gdyby \(\displaystyle{ x\notin W}\), to robi się tak samo, ale otrzymuje się mniej trywialny rozkład.

Q.

PAV38
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 24 paź 2010, o 09:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 2 razy

Rozklad wektora na składniki ortogonalne

Post autor: PAV38 » 13 lip 2011, o 13:14

Ok, dziękuję za pomoc i wyjaśnienie

Tzn. zadanie w całości brzmi dokładnie tak:

Wyznaczyć macierz ortogonalnej projekcji na przestrzeń \(\displaystyle{ W}\) rozpiętą przez wektory \(\displaystyle{ v=(1,1,1)}\) i \(\displaystyle{ u=(1,0,-1)}\).
a)Obliczyć rzuty wersorów osi \(\displaystyle{ e_{i}}\), \(\displaystyle{ i=1,2,3}\) na tę przestrzeń.
b)Wyznaczyć rozkład wektora \(\displaystyle{ (3,2,1)}\)

To chyba ten mój rozkład będzie ok?

Jeszcze jedno pytanie:
I jak wyznaczyć macierz ortogonalnej projekcji na przestrzeń?

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Rozklad wektora na składniki ortogonalne

Post autor: » 13 lip 2011, o 13:19

Z polecenia nie wynika czym jest rozkład o jakim mowa. Być może mieliście to jakoś zdefiniowane na wykładzie, ale ciężko stwierdzić.

Natomiast macierz rzutu (czy też projekcji, jak kto woli) to macierz, której kolumnami są rzuty wersorów \(\displaystyle{ e_1,e_2,e_3}\) na podaną przestrzeń.

Q.

PAV38
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 24 paź 2010, o 09:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 2 razy

Rozklad wektora na składniki ortogonalne

Post autor: PAV38 » 13 lip 2011, o 13:22

Ok

A te własności i wzory działają tylko dla przestrzeni ortogonalnych? Czy dla zupełnie dowolnych?-- 15 lip 2011, o 13:38 --Przepraszam za post pod postem

Czy jeżeli przestrzeń \(\displaystyle{ W}\) zawiera wektory, które nie są do siebie ortogonalne, to rzut wektora \(\displaystyle{ x}\) na tę przestrzeń można zapisać wzorem:

(załóżmy że w przestrzeni mamy 2 wektory (\(\displaystyle{ V_{1}}\), \(\displaystyle{ V_{2}}\)), które nie są do siebie ortogonalne, a \(\displaystyle{ x}\) to wektor, który rzutujemy na tę przestrzeń)

\(\displaystyle{ P _{w}(x)= a_{1} V_{1} + a_{2} V_{2}}\)

A współczynniki \(\displaystyle{ a_{1}}\), \(\displaystyle{ a_{2}}\) otrzymujemy z układu:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}V_{1}V_{1}&V_{1}V_{2}\\V_{2}V_{2}&V_{2}V_{1}\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}xV_{1}\\xV_{2}\end{array}\right]}\)

Czy to samo otrzymalibyśmy, ortogonalizując układ wektorów \(\displaystyle{ V_{1}}\), \(\displaystyle{ V_{2}}\) (a potem je normując) i rzutując wektor \(\displaystyle{ x}\) na tę "nową" przestrzeń- tak jak powyżej wg. wzoru:

\(\displaystyle{ P _{w}(x)=(U_{1} \cdot x)U_{1}+(U_{2} \cdot x)U_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ U_{1}}\), \(\displaystyle{ U_{2}}\) to unormowane i zortogonalizowane wektory \(\displaystyle{ V_{1}}\), \(\displaystyle{ V_{2}}\)

Czy ten tok rozumowania jest dobry?

ODPOWIEDZ