prawda/fałsz

Zdania. Tautologie. Język matematyki. Wszelkie zagadnienia związane z logiką matematyczną...
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

prawda/fałsz

Post autor: BlueSky » 13 lip 2011, o 11:42

Czy jest prawdą, że:
a) \(\displaystyle{ \forall\limits_{a \in \mathbb {R}}\exists\limits_{b \in \mathbb {R}}\forall\limits_{c \in \mathbb {R}}\exists\limits_{d \in \mathbb {R}}\forall\limits_{z \in \mathbb {R}}\quad z \neq a+b+c+d}\)
b) \(\displaystyle{ \exists\limits_{a \in \mathbb {R}}\forall\limits_{b \in \mathbb {R}}\exists\limits_{c \in \mathbb {R}}\forall\limits_{d \in \mathbb {R}}\exists\limits_{z \in \mathbb {R}}\quad z = a+b+c+d}\)
c) \(\displaystyle{ \forall\limits_{a \in \mathbb {R}}\exists\limits_{b \in \mathbb {R}}\forall\limits_{c \in \mathbb {R}}\exists\limits_{d \in \mathbb {R}}\forall\limits_{z \in \mathbb {R}}\quad z > a+b+c+d}\)
d) \(\displaystyle{ \exists\limits_{a \in \mathbb {R}}\forall\limits_{b \in \mathbb {R}}\exists\limits_{c \in \mathbb {R}}\forall\limits_{d \in \mathbb {R}}\exists\limits_{z \in \mathbb {R}}\quad z < a+b+c+d}\)

Zastanawiam się, czy można to zadanie rozwiązać tak:
b) Mają istnieć takie a i c, więc weźmy, że a=c=0. Wówczas mamy: \(\displaystyle{ \forall\limits_{b \in \mathbb {R}}\forall\limits_{d \in \mathbb {R}}\exists\limits_{z \in \mathbb {R}}\quad z = b+d}\) i jest to prawdą, bo dla każdych dwóch liczb znajdziemy taką, która jest ich sumą.
a) jest to negacja tego co w b), więc skoro b) jest prawdą, to a) jest fałszem.
d) podobnie, jak w b), mają istnieć takie a i c, więc weźmy a=c=0. Wówczas mamy: \(\displaystyle{ \forall\limits_{b \in \mathbb {R}}\forall\limits_{d \in \mathbb {R}}\exists\limits_{z \in \mathbb {R}}\quad z < b+d}\) i jest to prawda, bo dla każdych dwóch liczb znajdziemy taką, która jest mniejsza od ich sumy.
c) to co tutaj jest, wchodzi w skład negacji tego co w d), więc jest fałszem.

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

prawda/fałsz

Post autor: » 13 lip 2011, o 12:28

Jest ok.

Q.

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

prawda/fałsz

Post autor: miki999 » 13 lip 2011, o 12:32

W sumie to w tym zadaniu, wystarczyło spojrzeć na ostatni kwantyfikator

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

prawda/fałsz

Post autor: BlueSky » 13 lip 2011, o 12:48

Dzięki za odpowiedzi. Ciekawe spostrzeżenie z tym ostatnim kwantyfikatorem.

Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 427 razy

prawda/fałsz

Post autor: Inkwizytor » 14 lip 2011, o 00:10

To że a) nie jest prawdą widać właśnie po ostatnim kwantyfikatorze. W końcu zawsze jak dodajemy jakieś 4 liczby rzeczywiste to wychodzi nam jakaś konkretna liczba, co stoi w sprzeczności z kwantyfikatorem \(\displaystyle{ \forall\limits_{z \in \mathbb {R}}}\) bo musiało by to oznaczać że suma 4 liczb rzeczywistych po prawej daje wynik nierzeczywisty - "sprzecznośc ze względu na zamkniętość zbioru rzeczywistego ze względu na dodawanie"

ODPOWIEDZ