[Trygonometria] Kombinacja kosinusów
: 11 sty 2007, o 18:07
Rozstrzygnij, czy istnieją takie stałe \(\displaystyle{ a_j}\) j=1, ...,7, że przy dowolnym x będącym liczbą rzeczywistą zachodzi poniższa nierówność: (następnie spróbuj uogólnić)?
\(\displaystyle{ cos8x +a_7 cos(7x)+\ldots+a_2 cos(2x)+a_1 cos(x) > 0}\)
[ Dodano: 16 Września 2008, 23:17 ]
Uogólnienie
Niech \(\displaystyle{ f(x)=cos(nx)+a_{n-1}cos((n-1)x)+....+a_{2}cos(2x)+a_{1}cos(x)}\)
Wtedy f przyjmuje wartosci dodatnie i ujemne
Lemat
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n cos(a+ \frac{2\pi rk}{n})}\) jest równe 0 jesli r nie dzieli sie przez n, badz
\(\displaystyle{ ncos(a)}\) w przeciwnym przypadku
dowod łatwy
Niech
\(\displaystyle{ F(x)= \sum_{k=1}^n f(x+ \frac{2k \pi}{n}) = f(x+ \frac{2 \pi}{n})+ f(x+ \frac{4 \pi}{n})+...+f(x+ \frac{2n \pi}{n})= ncos(nx)}\)
a wiec nie moze byc zawsze f0
cbdo
\(\displaystyle{ cos8x +a_7 cos(7x)+\ldots+a_2 cos(2x)+a_1 cos(x) > 0}\)
[ Dodano: 16 Września 2008, 23:17 ]
Uogólnienie
Niech \(\displaystyle{ f(x)=cos(nx)+a_{n-1}cos((n-1)x)+....+a_{2}cos(2x)+a_{1}cos(x)}\)
Wtedy f przyjmuje wartosci dodatnie i ujemne
Lemat
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n cos(a+ \frac{2\pi rk}{n})}\) jest równe 0 jesli r nie dzieli sie przez n, badz
\(\displaystyle{ ncos(a)}\) w przeciwnym przypadku
dowod łatwy
Niech
\(\displaystyle{ F(x)= \sum_{k=1}^n f(x+ \frac{2k \pi}{n}) = f(x+ \frac{2 \pi}{n})+ f(x+ \frac{4 \pi}{n})+...+f(x+ \frac{2n \pi}{n})= ncos(nx)}\)
a wiec nie moze byc zawsze f0
cbdo