przestrzenie unormowane, unitarne - tw. i wnioski

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
dzastinka87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 31 gru 2009, o 11:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kraków

przestrzenie unormowane, unitarne - tw. i wnioski

Post autor: dzastinka87 » 11 lip 2011, o 19:18

Z przedstawionych poniżej twierdzeń mam uzasadnić następujące wnioski. Jak to zrobić?

tw.1
Niech \(\displaystyle{ V}\)-prz. unormowana. Odwozrowanie: \(\displaystyle{ q(t) = ||x + ty|| ^{2}}\), \(\displaystyle{ x, y \in V, t \in R}\) jest wielomianem stopnia 2-go wtw. gdy \(\displaystyle{ V}\) jest prz.unitarną.

tw.2
Niech \(\displaystyle{ q : R \rightarrow R}\), dane wzorem \(\displaystyle{ q(t) = f(x + ty), t \in R, x, y \in V}\) (gdzie \(\displaystyle{ f : V \rightarrow R}\)) będzie wielomianem stopnia 2-go.
Wówczas istnieją funkcje \(\displaystyle{ a, b, c}\) takie, że: \(\displaystyle{ q(t) = f(x + ty) = at ^{2} + bt + c}\) , dla \(\displaystyle{ x, y \in V, t \in R}\) oraz \(\displaystyle{ q, f}\) dane są następująco:
\(\displaystyle{ f(x) = p(x) + A(x) + d}\) oraz \(\displaystyle{ q(t) = p(y)t ^{2} + [2B(x, y) + A(y)]t + p(x) + A(x) + d}\) , gdzie \(\displaystyle{ A}\)-addytywna, \(\displaystyle{ B}\)-biaddytywna, \(\displaystyle{ p}\)-spelnia warunek równoległoboku, \(\displaystyle{ d}\)-stała.

WNIOSEK1
Niech \(\displaystyle{ V}\)-prz.unormowana, \(\displaystyle{ x, y \in V}\). Funkcja \(\displaystyle{ F : R \rightarrow R}\) oraz
\(\displaystyle{ q(t) := F(||x + ty|| ^{2}), t \in R}\) jest wielomianem stopnia 2-go. Wówczas \(\displaystyle{ V}\) jest prz. unitarną.

WNIOSEK2
Niech \(\displaystyle{ V}\)-prz.unormowana, \(\displaystyle{ x, y \in V}\). Funkcja \(\displaystyle{ g : R \rightarrow R, g}\)-ciągła oraz \(\displaystyle{ q(t) := g(||x + ty||)}\) będzie wielomianem stopnia 2-go. Wówczas \(\displaystyle{ V}\)jest prz.unitarną.-- 13 lip 2011, o 21:17 --Postanowiłam "odświeżyć" post. Na prawdę nie wiem jak to porządnie uzasadnić...Może znajdzie się jakiś pomocnik:)

Ujmując krócej wcześniejszą wypowiedź:

1) zał.: \(\displaystyle{ V}\)-prz.unormowana, \(\displaystyle{ q : R \rightarrow R}\),
teza: \(\displaystyle{ q(t) = ||x + ty|| ^{2}}\) - wielomian stopnia 2-go wtw \(\displaystyle{ V}\)-prz.unitarna.

2) zał.: \(\displaystyle{ V}\)-prz.unormowana, \(\displaystyle{ q : R \rightarrow R}\), \(\displaystyle{ f : V \rightarrow R}\)
teza: \(\displaystyle{ q(t) = f(x + ty)}\) - wielomian stopnia 2-go wtw \(\displaystyle{ V}\)-prz.unitarna.

Jak z tw.1 i 2 wynika poniższy wniosek???

Wniosek
zał.: \(\displaystyle{ V}\)-prz.unormowana, \(\displaystyle{ q : R \rightarrow R}\),\(\displaystyle{ F: R \rightarrow R}\),
\(\displaystyle{ q(t) = F(||x + ty|| ^{2})}\) - wielomian stopnia 2-go
teza:\(\displaystyle{ V}\)-prz.unitarna.

ODPOWIEDZ