Matematyka.pl

Niedawno uzyskałem pewien wzór na średnią (arytmetyczną) długość ciągu Collatza na przedziale od liczby 1 do \(\displaystyle{ n}\). Wydaje się, że rzeczywista średnia długość ciągu Collatza (na przedziale od 1 do \(\displaystyle{ n}\)) jest zbieżna do tego wzoru. Pracuję nad dowodem. Tymczasem czy ktoś mógłby sprawdzić czy ta zbieżność występuje również dla dużych \(\displaystyle{ n}\) metodami obliczeniowymi?

Nie za bardzo potrafię napisać program który coś takiego by sprawdził i dlatego sam przetestowałem tylko liczby do 1000, a chciałbym do 10 000, 100 000, 1 000 000 a nawet 1 000 000 000.

Definicja ciągu (bierzemy skróconą formułę!):

\(\displaystyle{ c_{n+1} = \begin{cases} 1,5 \cdot c_{n} +0,5 \ \ gdy \ c_{n} \ nieparzyste \\ \frac{c_{n}}{2} \ \ gdy \ c_{n} \ parzyste \end{cases}}\)

Przyjmujemy, że algorytm zatrzymuje się, gdy osiągnie wartość 1.

Przykłady:

Liczba - 1, długość ciągu 0

Liczba - 2, długość ciągu 1:

2, 1

Liczba - 3, długość ciągu 5:

3, 5, 8, 4, 2, 1

Liczba - 4, długość ciągu 2:

4, 2, 1

Średnia długość ciągu od liczby 1 do 4:

\(\displaystyle{ R(4)= \frac{0+1+5+2}{4}=2}\)

Mój wzór na średnią długość ciągu liczb od 1 do \(\displaystyle{ n}\) jest następujący:

\(\displaystyle{ D(n) = \frac {2}{ln(0,75)} \cdot \frac {n \cdot (ln(\frac {1}{n})+1)-1}{n}}\)

Dla małych \(\displaystyle{ n}\) uzyskujemy słabe dokładności, ale w miarę przyrostu n dokładność wzoru rośnie, dla \(\displaystyle{ n=1000}\), mamy:

- rzeczywista średnia: \(\displaystyle{ R(1000) = 39,89}\)
- szacowana ze wzoru: \(\displaystyle{ D(1000) = 41,08}\)



A zatem czy ktoś może sprawdzić czy ta zbieżność występuje również dla większych \(\displaystyle{ n}\)? Pożądany wykres jednych i drugich wartości Bardziej formalnie sugeruję następującą równość asymptotyczną:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac {R(n)}{D(n)} = 1}\)

Można także udowdnić równość:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac {D(n)}{\frac {2}{ln(0,75)} \cdot (1+ln(\frac {1}{n}))} = 1}\)

Wtedy możemy badać zbieżność tej średniej do nieco prostszego wzoru:

\(\displaystyle{ D_{1}(n) = \frac {2}{ln(0,75)} \cdot (1+ln(\frac {1}{n}))}\)

Obliczyłem Ci dla kilku wartości, myślę, że jeszcze kolejną dałoby się obliczyć w sensownym czasie.

Cóż, wyniki jednak różnią się nieco od moich, szczególnie dla potęg większych niż 7. Co jeszcze nie oznacza, że zbieżności do wzoru który zaproponowałem nie ma...

Przewidywania obliczone z mojego wzoru są następujące:

9,751
25,133
41,078
57,080
73,087
89,095
105,103
121,111
137,118
153,126
169,134

Co daje rosnące dokładności do potęgi 7:

0,51
0,85
0,97
0,99
0,98
0,99
0,99
0,98
0,98
0,89
0,80

Widać, że dla liczb większych od \(\displaystyle{ 10^{7}}\) zaczynamy mieć jakieś fluktuacje i to całkiem spore biorąc pod uwagę rzędy liczb. Być może w następnej kolejności dla potęg większych niż 11 zawrócą one znów i zbliżą się do mojego oszacowania, jakkolwiek myślałem, że na tym poziomie nie będzie już niejednorodności w długości średniej ciągu tego rzędu. Jednak może to być kwestia akurat pechowego dobrania przedziałów (jako potęgi 10) i być może akurat w tych przedziałach (\(\displaystyle{ 10^{10}}\) i \(\displaystyle{ 10^{11}}\)) napotykamy na swojego rodzaju "dziury" które być może zostaną nadrobione już w minimalnej ilości kolejnych liczb.

To dziwne, że średnia długość ciągu tak gwałtownie maleje i w końcu dla potęgi 11 jest mniejsza niż dla potęgi 10. Jesteś pewny, że to nie wynik np. zaokrągleń lub jakichś innych błędów?

Takim błędem może być właśnie taka "dziura" pechowo powtarzająca się w okolicach potęg 10, dlatego mam pytanie czy mógłbyś zrobić to samo oszacowanie dla przedziałów nieco przesuniętych od potęg 10 lub dla jakiś innych potęg np. liczby 9?

Tamte wyniki były chyba niepoprawne, te są ok:

Te faktycznie wydają się już być poprawne. I potwierdzają mój wzór.