rozwiązać równanie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
dżi-unit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 402
Rejestracja: 13 paź 2008, o 18:01
Płeć: Kobieta

rozwiązać równanie

Post autor: dżi-unit » 10 lip 2011, o 20:05

\(\displaystyle{ x^{4} - i = 0}\)

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

rozwiązać równanie

Post autor: Funktor » 10 lip 2011, o 20:07

Zapisz \(\displaystyle{ i}\) w postaci trygonometrycznej a następnie skorzystaj ze wzory na pierwiastki n-tego stopnia z liczby zespolonej

dżi-unit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 402
Rejestracja: 13 paź 2008, o 18:01
Płeć: Kobieta

rozwiązać równanie

Post autor: dżi-unit » 10 lip 2011, o 20:39

A jeśli chodzi ogólnie o równania typu: \(\displaystyle{ z^{2}=a \pm bi}\) albo \(\displaystyle{ z^{2} \pm (a+bi)z + c+di = 0}\)

mateuszek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1106
Rejestracja: 1 lip 2010, o 15:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: toruń
Pomógł: 153 razy

rozwiązać równanie

Post autor: mateuszek89 » 10 lip 2011, o 21:22

ad.1
też przedstawiasz tą liczbę tzn. \(\displaystyle{ a+bi}\) w postaci trygonometrycznej.
ad.2
Liczysz zwykłą \(\displaystyle{ \Delta}\). Jeśli wyjdzie rzeczywista większa od 0 wiadomo. Jeśli mniejsza od 0 ale rzeczywista to też dosyć łatwo bo np. \(\displaystyle{ -9=(3i)^2=(-3i)^2}\) więc łatwo znaleźć pierwiastki drugiego stopnia z tych liczb. Jeśli wyjdzie taka, że jej część urojona jest różna od 0 możesz ponownie przedstawić ją w postaci trygonometrycznej i posłużyć się wzorami na rozwiązanie równania \(\displaystyle{ x^2-z=0}\). Dalej jak już masz te pierwiastki korzystasz ze zwykłych wzorów na rozwiązania równania kwadratowego.
Pozdrawiam!

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

rozwiązać równanie

Post autor: Funktor » 10 lip 2011, o 21:25

Nie ma recepty na dowolne równanie w liczbach zespolonych, czasem warto zrobić tak jak napisałem wyżej a czasem np. w tych ostatnich przykładach za \(\displaystyle{ z}\) podstawić \(\displaystyle{ z=ai+b}\)-- 10 lip 2011, o 21:26 --Albo tak jak napisał mateuszek co do ostatniego przykładu

ODPOWIEDZ