Długość promienia koła opisanego na stożku prostym.

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
PsYcHoPaUzA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 6 lip 2011, o 16:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Długość promienia koła opisanego na stożku prostym.

Post autor: PsYcHoPaUzA » 10 lip 2011, o 17:35

Witajcie,
Potrzebuję szybkiej pomocy z tym oto zadaniem:

Długość promienia koła opisanego na stożku prostym o promieniu podstawy \(\displaystyle{ r}\) i wysokości \(\displaystyle{ h}\) jest dana wzorem:

\(\displaystyle{ \frac{r^2 + h^2}{2h}}\)

\(\displaystyle{ \frac{r+h}{2h}}\)

\(\displaystyle{ \frac{(r+h)^2}{2h}}\)

\(\displaystyle{ \frac{r^2}{2h}}\)

Któraś z tych odpowiedzi jest prawdziwa, jednakże mi wychodzą... bzdety -.-"
Pomoże ktoś? Please + Proszę o rozpisanie w miarę możliwości drogi do otrzymania wyniku..

Może jednak?
Ostatnio zmieniony 10 lip 2011, o 18:15 przez PsYcHoPaUzA, łącznie zmieniany 3 razy.

octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Długość promienia koła opisanego na stożku prostym.

Post autor: octahedron » 10 lip 2011, o 17:59

Jeśli weźmiemy przekrój poprzeczny stożka w kuli, dostaniemy trójkąt o postawie \(\displaystyle{ 2r}\), ramionach \(\displaystyle{ l}\) i wysokości \(\displaystyle{ h}\), wpisany w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ R}\). Jeśli kąt między ramionami wynosi \(\displaystyle{ \alpha}\), to wtedy:
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}h\cdot 2r=\frac{1}{2}l^2\sin\alpha\\ \sin\alpha=\frac{2hr}{l^2}=\frac{2hr}{r^2+h^2}}\)
z tw. sinusów
\(\displaystyle{ R=\frac{2r}{2\sin\alpha}=\frac{r(r^2+h^2)}{2hr}=\frac{r^2+h^2}{2h}}\)

PsYcHoPaUzA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 6 lip 2011, o 16:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Długość promienia koła opisanego na stożku prostym.

Post autor: PsYcHoPaUzA » 10 lip 2011, o 18:09

Dziękuję bardzo za szybką i zrozumiałą odpowiedź

A czy to zadanie rozwiązuje się na takiej samej zasadzie, co poprzednie:???

Promień kuli wpisanej w stożek o promieniu podstawy i wysokości wynosi...

\(\displaystyle{ \frac{hr}{ \sqrt{h+r} + r }}\)

\(\displaystyle{ \frac{hr}{ \sqrt{h^2 + r^2} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{hr}{ \sqrt{h^2 + r^2}+r }}\)

\(\displaystyle{ \frac{hr}{ \sqrt{h^2 + r^2}+r^2 }}\)

???

mateuszek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1106
Rejestracja: 1 lip 2010, o 15:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: toruń
Pomógł: 153 razy

Długość promienia koła opisanego na stożku prostym.

Post autor: mateuszek89 » 10 lip 2011, o 18:20

Mamy trójkąt o podstawie \(\displaystyle{ 2r}\) oraz wysokości \(\displaystyle{ h}\) i mamy obliczyć promień okręgu wpisanego w ten trójkąt, niech będzie to \(\displaystyle{ r_1}\). Wtedy z jednej strony Pole tego trójkąta to oczywiście \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} \cdot 2r \cdot h=rh}\), a z drugiej strony pole tego trójkąta to \(\displaystyle{ P=p \cdot r_1}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) to połowa obwodu trójkąta. Do obliczenia obwodu wystarczy, że policzysz ramię tego trójkąta. Z tw. pitagorasa masz, że jest ono równe \(\displaystyle{ \sqrt{r^2+h^2}}\) stąd \(\displaystyle{ P=\frac{2\sqrt{r^2+h^2}+2r}{2} \cdot r_1=(\sqrt{r^2+h^2}+r) \cdot r_1}\). Po przyrównaniu dostajemy:
\(\displaystyle{ rh=(\sqrt{r^2+h^2}+r) \cdot r_1\\ r_1=\frac{rh}{\sqrt{r^2+h^2}+r}}\)
I koniec:) pozdrawiam!

PsYcHoPaUzA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 6 lip 2011, o 16:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Długość promienia koła opisanego na stożku prostym.

Post autor: PsYcHoPaUzA » 10 lip 2011, o 18:31

Dziękuję bardzo! Nareszcie porządne forum Lecą "pomocne" dla ob userów

Jeśli już ktoś zaplątał się w tym temacie to proszę niech pomoże tu: http://www.matematyka.pl/258804.htm PlEaSe

ODPOWIEDZ