Dowód: M-ta potęga liczby wymiernej, m-tą potęgą naturalnej

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Tomek Sierp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 25 cze 2011, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Internet
Podziękował: 5 razy

Dowód: M-ta potęga liczby wymiernej, m-tą potęgą naturalnej

Post autor: Tomek Sierp » 9 lip 2011, o 23:59

Nie rozumiem jednego z dowodów z "Teorii Liczb" Sierpińskiego:

Jeżeli liczba naturalna jest m-tą potęgą liczby wymiernej, to jest też m-tą potęgą liczby naturalnej (dla naturalnych m).

Dowód. Załóżmy, że liczba naturalna n jest m-tą potęgą liczby wymiernej \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\). Możemy tu oczywiście założyć, że \(\displaystyle{ q}\) jest liczbą naturalną i że liczby \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są względnie pierwsze. Skoro \(\displaystyle{ n=(\frac{p}{q})^m}\) ,to \(\displaystyle{ nq^{m}=p^{m}}\), skąd \(\displaystyle{ q|p^{m}}\); wobec twierdzenia 5(Liczba dzieląca iloczyn dwu liczb i pierwsza względem jednego z czynników jest dzielnikiem drugiego czynnika) i uwagi, że \(\displaystyle{ NWD(p,q)=1}\), jest to możliwe tylko w razie \(\displaystyle{ q=1}\), skąd \(\displaystyle{ n=p^m}\), c.b.d.o

Pewnie jest to banalne, ale kompletnie nie mogę zrozumieć części od "wobec twierdzenia 5"
Czy ktoś mógłby mi to wytłumaczyć "łopatologicznie"? To znaczy rozwinąć trochę tę część, żeby była bardziej "dla opornych" ?

Z góry dzięki

RSM
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 197
Rejestracja: 1 lip 2011, o 21:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Internet
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 13 razy

Dowód: M-ta potęga liczby wymiernej, m-tą potęgą naturalnej

Post autor: RSM » 10 lip 2011, o 02:45

Skoro liczby p i q są względnie pierwsze to nie mają żadnego wspólnego dzielnika. Sprzeczność pojawia się w momencie obserwacji, że \(\displaystyle{ q|p^{m}}\).

norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Dowód: M-ta potęga liczby wymiernej, m-tą potęgą naturalnej

Post autor: norwimaj » 10 lip 2011, o 09:57

Twierdzenie 5 można zastosować \(\displaystyle{ m}\) razy. Wiemy że \(\displaystyle{ q|p^m}\), czyli \(\displaystyle{ q|p\cdot p^{m-1}}\), oraz wiemy że \(\displaystyle{ NWD(p,q)=1}\), więc \(\displaystyle{ q|p^{m-1}}\). Jeśli jeszcze \(\displaystyle{ m-1}\) razy zastosujemy tw. 5, to dostaniemy \(\displaystyle{ q|1}\).

Tomek Sierp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 25 cze 2011, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Internet
Podziękował: 5 razy

Dowód: M-ta potęga liczby wymiernej, m-tą potęgą naturalnej

Post autor: Tomek Sierp » 10 lip 2011, o 10:04

Dziękuję. Szczególnie norwimaj-owi.

ODPOWIEDZ