Matematyka.pl

Mam zadanie zbadaj zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{ n^{n+1} } }=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ n^{ \frac{n+1}{n} } }=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ n^{ 1+\frac{1}{n} } }}\)
Warunek konieczny spełniony:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{ n^{ 1+\frac{1}{n} } } = 0}\) co widać od razu

Kryterium d'Alemberta i Cauchy'ego nic nie rozstrzyga..
Więc do czego to można porównać? Jakaś wskazówka?

Korzystasz z kryterium ilorazowego - \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt[x]{ \frac{1}{x \cdot x^{x} } }}\) i \(\displaystyle{ g(x)= \frac{1}{\sqrt[x]{x ^{x}} }}\). \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{f(x)}{g(x)}=1}\), więc pozostaje zbadać zbieżność \(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty} \frac{1}{x}\mbox dx}\)

PS Teraz jest w końcu dobrze :]

Nie korzystasz tutaj z kryterium ilorazowego zbieżności szeregów, lecz z kryterium całkowego. Zbieżność całki ustalasz na podstawie kryterium porównawczego w postaci granicznej.

Alternatywną metodą jest zastosowanie kryterium ilorazowego zbieżności szeregów, którego dowód jest znacznie bardziej elementarny. Rozwiązanie wymaga wtedy mniej obliczeń i uzasadnień.

Zadanie jest z Krysickiego, wiedzę mam tylko taką jaka jest w Krysickim na ten temat (brak tego w liceum), a tam kryterium całkowego nie ma. (już uzupełniłem )

Alternatywną metodą jest zastosowanie kryterium ilorazowego zbieżności szeregów, którego dowód jest znacznie bardziej elementarny. Rozwiązanie wymaga wtedy mniej obliczeń i uzasadnień.

Mógłbyś jakoś naprowadzić? Z jakim szeregiem porównać, czy też jak 'wymyślić' szereg do porównania tego?

Najprościej chyba z kryterium porównawczego. Z uwagi na oczywistą nierówność \(\displaystyle{ n<2^n}\) mamy \(\displaystyle{ n^{\frac 1n}<2}\), a stąd:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{1+\frac 1n}}=\frac{1}{n\cdot n^{\frac 1n}}>\frac{1}{2n}}\)

Q.

Dlaczego nie mogę wykorzystać kryterium ilorazowego badania zbieżności szeregów (bo to co napisałem tutaj JEST tym kryterium -> Liczyłem granicę f(x)/g(x) i skoro ta granica wyszła między 0 a \(\displaystyle{ \infty}\) to pozostaje zbadać zbieżność jednej z funkcji i owszem dopiero w tym momencie korzystałem z kryterium całkowego)

Stoppie, twoja metoda jest poprawna. Koledzy raczej mają pretensje co do prostoty rozumowania.