granica ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
apriliasr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 26 lis 2010, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy

granica ciągu

Post autor: apriliasr » 9 lip 2011, o 17:46

Obliczyć granicę ciągu. Proszę o pomoc

\(\displaystyle{ an= \frac{ \sqrt{3} + 3 + \frac{1}{3} + 9 + \frac{1}{9} + ... + 3^{n} + \frac{1}{ 3^{n} } }{ 9^{n} \sin \frac{1}{ 3^{n} } }}\)
Ostatnio zmieniony 9 lip 2011, o 18:23 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. \sin

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

granica ciągu

Post autor: ares41 » 9 lip 2011, o 18:25

Spróbuj pogrupować składniki w liczniku i policzyć odpowiednie sumy.

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

granica ciągu

Post autor: Majeskas » 9 lip 2011, o 18:34

\(\displaystyle{ a_n= \frac{ \sqrt{3} + 3 +9+\cdots+3^n+ \frac{1}{3} +\frac{1}{9} +\cdots+ \frac{1}{ 3^{n} } }{ 9^{n} \sin \frac{1}{ 3^{n} } }}\)

W liczniku pojawiają się sumy dwóch ciągów geometrycznych. Zapisuję je za pomocą wzoru na sumę:

\(\displaystyle{ a_n=\frac{ \sqrt{3}+3 \cdot \frac{3^n-1}{3-1}+ \frac{1}{3} \cdot \frac{1- \frac{1}{3^n} }{1- \frac{1}{3} } }{9^n\sin \frac{1}{3^n} }}\)

Wiadomo jak dalej?
Ostatnio zmieniony 9 lip 2011, o 19:40 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: symbol sinusa to \sin

apriliasr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 26 lis 2010, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy

granica ciągu

Post autor: apriliasr » 10 lip 2011, o 07:13

a mógłbyś dokończyć , bo coś nie chce mi wyjść ?
Pozdrawiam,

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

granica ciągu

Post autor: Majeskas » 10 lip 2011, o 12:37

Po zrobieniu porządków mamy:

\(\displaystyle{ a_n=\frac{ \sqrt{3}-1+ \frac{3}{2} \cdot 3^n- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^n} }{9^n\sin \frac{1}{3^n} }= \frac{ \sqrt{3}-1}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}+ \frac{\frac{3}{2} \cdot 3^n}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}- \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^n}}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}=b_n+c_n+d_n}\)

\(\displaystyle{ c_n=\frac{\frac{3}{2} \cdot 3^n}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}= \frac{3}{2} \cdot \frac{ \frac{1}{3^n} }{\sin \frac{1}{3^n}}}\)


\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x}=1}\). Zatem na podstawie definicji granicy Heinego:

\(\displaystyle{ \forall \left( x_n\right) \subset \mathbb{R} \setminus \left\{ 0\right\} \quad x_n \rightarrow 0 \Rightarrow \frac{x_n}{\sin x_n} \rightarrow 1}\)

Weźmy \(\displaystyle{ x_n= \frac{1}{3^n}}\)

\(\displaystyle{ c_n=\frac{3}{2} \cdot \frac{ \frac{1}{3^n} }{\sin \frac{1}{3^n}} \rightarrow \frac{3}{2} \cdot 1= \frac{3}{2}}\)



\(\displaystyle{ d_n=-\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^n}}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}= -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9^n} \cdot \frac{ \frac{1}{3^n} }{\sin \frac{1}{3^n}} \rightarrow -\frac{1}{2} \cdot 0 \cdot 1=0}\)


\(\displaystyle{ b_n=\frac{ \sqrt{3}-1}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}}\)

Do obliczenia tej granicy skorzystam z subtelnego faktu i twierdzenia o dwóch ciągach.

subtelny fakt:

Skoro \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x}=1}\), to z definicji granicy wg Cauchy'ego:

\(\displaystyle{ \forall \varepsilon >0 \quad \exists \delta>0: \quad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 0\right\} \quad \left| x\right|<\delta \Rightarrow \left| \frac{x}{\sin x}-1 \right|<\varepsilon}\)

Mogę zatem przyjąć \(\displaystyle{ \varepsilon= 1}\) i mieć pewność, że dla odpowiednio bliskiego otoczenia \(\displaystyle{ 0}\) (dobiorę odpowiednią liczbę \(\displaystyle{ \delta}\) i zadam warunek \(\displaystyle{ \left| x\right|<\delta}\)) \(\displaystyle{ \left| \frac{x}{\sin x}-1 \right|< 1}\)

\(\displaystyle{ -1<\frac{x}{\sin x}-1<1}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{\sin x}-1<1}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{\sin x}<2}\)

Zakładam, że \(\displaystyle{ x>0}\) i dla \(\displaystyle{ x}\) odpowiednio bliskich \(\displaystyle{ 0}\) z prawej strony otrzymuję nierówność:

\(\displaystyle{ x<2 \sin x}\)

\(\displaystyle{ \sin x> \frac{x}{2}}\)

Nierówność można zastosować dla \(\displaystyle{ x_n= \frac{1}{3^n}}\). Z zastrzeżeniem, że zachodzić będzie dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\):

\(\displaystyle{ \sin \frac{1}{3^n} > \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^n}}\)

Teraz skorzystam z tej nierówności i twierdzenia o dwóch ciągach, żeby obliczyć granicę ciągu \(\displaystyle{ b_n}\)

\(\displaystyle{ \forall n \in \mathbb{N} \quad b_n>0}\)

dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\):

\(\displaystyle{ b_n=\frac{ \sqrt{3}-1}{9^n\sin \frac{1}{3^n}}<\frac{ \sqrt{3}-1}{9^n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^n} }= \frac{2\left( \sqrt{3}-1 \right) }{3^n} \rightarrow 0}\)

Zatem \(\displaystyle{ b_n \rightarrow 0}\)

Granica sumy ciągów jest sumą ich granic:

\(\displaystyle{ a_n=b_n+c_n+d_n \rightarrow 0+ \frac{3}{2}+0= \frac{3}{2}}\)

ODPOWIEDZ