ciaglosc funkcji

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

ciaglosc funkcji

Post autor: BlueSky » 8 lip 2011, o 21:40

Podany niżej ciąg funkcji \(\displaystyle{ (f_n)_{n=1,2,3,...}}\) określonych na przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\) jest zbieżny jednostajnie. Czy jego granica jest funkcją ciągłą?
a) \(\displaystyle{ f_n(x)= \frac{1}{n} \mbox{sgn}(x)}\)

b) \(\displaystyle{ f_n(x)= \left( 1- \frac{1}{n} \right) \mbox{sgn}(x)}\)

c) \(\displaystyle{ f_n(x)= \left( 1- \frac{1}{n} \right) (\mbox{sgn}(x))^2}\)

d) \(\displaystyle{ f_n(x)= \left( 1- \frac{1}{n} \right) x \mbox{sgn}(x)}\)
Ostatnio zmieniony 14 lip 2011, o 00:30 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości - skalowanie nawiasów.

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

ciaglosc funkcji

Post autor: Majeskas » 8 lip 2011, o 22:01

Twierdzenie przydatne do rozwiązania tego zadania:

\(\displaystyle{ \begin{cases} f_n\left( x\right) \in C\left( \left[ a,b\right] \right) \\ f_n\left( x\right) \rightrightarrows f\left( x\right) \end{cases} \Rightarrow f\left( x\right) \in C\left( \left[ a,b\right] \right)}\)

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

ciaglosc funkcji

Post autor: BlueSky » 9 lip 2011, o 12:31

Hm... a czy mogłabym prosić trochę jaśniej?

miodzio1988

ciaglosc funkcji

Post autor: miodzio1988 » 9 lip 2011, o 12:32

a co jest w tym niejasnego?

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

ciaglosc funkcji

Post autor: Majeskas » 9 lip 2011, o 12:58

Słownie twierdzenie brzmi: jeżeli ciąg funkcji ciągłych na dowolnym przedziale jest na nim jednostajnie zbieżny, to funkcja graniczna jest ciągła.

Twoje przykłady są dość proste i moim zdaniem, na powyższe twierdzenie warto się powołać jedynie w przykładzie d). W pozostałych przykładach funkcje nie są ciągłe, więc twierdzenie jest nam na nic. Natomiast można dość łatwo określić w każdym funkcję graniczną i stwierdzić, czy jest ciągła. Potrafisz to zrobić?

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

ciaglosc funkcji

Post autor: BlueSky » 9 lip 2011, o 13:15

Nadal niewiele mi to mówi. Prosiłabym o wytłumaczenie tego chociaż na jednym z tych przykładów, może wtedy więcej zrozumiem... (odpowiedzi to tak, nie, nie, tak)

miodzio1988

ciaglosc funkcji

Post autor: miodzio1988 » 9 lip 2011, o 13:18

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \mbox{sgn}(x)}\)

ile takie cudo wynosi?

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

ciaglosc funkcji

Post autor: BlueSky » 9 lip 2011, o 13:32

Chwila... czyli to zadanie wystarczy rozwiązać w ten sposób, że:
a) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{1}{n} \mbox{sgn}x = 0}\) (ciągła)

b) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right) \mbox{sgn}x = \mbox{sgn}x}\) (nieciągła)

c) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right) (\mbox{sgn}x)^2 = (\mbox{sgn}x)^2}\) (nieciągła)

d) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right) x\mbox{sgn}x = x\mbox{sgn}x}\) (ciągła)

???
Ostatnio zmieniony 14 lip 2011, o 00:31 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości - skalowanie nawiasów.

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

ciaglosc funkcji

Post autor: Majeskas » 9 lip 2011, o 14:15

Z grubsza tak.

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

ciaglosc funkcji

Post autor: BlueSky » 10 lip 2011, o 11:28

A co by trzeba było dopisać, aby nie było z grubsza?

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

ciaglosc funkcji

Post autor: miki999 » 10 lip 2011, o 13:03

Raczej nic więcej nie potrzeba. Chyba, że wskazywać pkt. nieciągłości, bądź udowadniać ciągłość, ale to chyba zbędne.


Pozdrawiam.

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

ciaglosc funkcji

Post autor: BlueSky » 10 lip 2011, o 15:46

OK, dzięki

ODPOWIEDZ