Matematyka.pl

1. Wiedząc, że \(\displaystyle{ n\neq 0}\) wykaż, że:
a. liczba \(\displaystyle{ 2^{4n}-6}\) jest podzielna przez 10
b. liczba \(\displaystyle{ 3^{4n}-1}\) jest podzielna przez 10
c. liczna \(\displaystyle{ 10^{2n}+8}\) jest podzielna przez 36

2. Dane są trzy kolejne liczby naturalne. Wykaż, że suma iloczynu tych liczb i ich średniej arytmetycznej jest sześcianem liczby naturalnej ?

Z góry dziękuje za pomoc

a) \(\displaystyle{ 2^{4n}-6 \equiv 16^n-6 \equiv 6^n-6 \equiv 6-6 \equiv 0\pmod{10}}\), aby pokazać, że \(\displaystyle{ 6^n \equiv 6\pmod{10}}\) można posłużyć się indukcją, dla \(\displaystyle{ n=1}\) działa, założenie i: \(\displaystyle{ 6^{n+1} \equiv 6\cdot 6^n \equiv 6\cdot 6 \equiv 36 \equiv 6\pmod{10}}\) qed.

b) \(\displaystyle{ 3^{4n}-1 \equiv 81^n-1 \equiv 1^n-1 \equiv 0\pmod{10}}\)

c) \(\displaystyle{ 10^{2n}+8 \equiv 100^n+8 \equiv 28^n-28 \equiv 28-28 \equiv 0\pmod{36}}\) dowód \(\displaystyle{ 28^n \equiv 28\pmod{36}}\) podobnie jak wcześniej możesz pokazać indukcyjnie \(\displaystyle{ 28^{n+1} \equiv 28\cdot 28^n \equiv 28^2 \equiv 28\pmod{36}}\)

2) \(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)+\frac{n-1+n+n+1}{3} = n^3-n+n = n^3}\) qed.

Dzięki , nie do końca wszystko rozumiem z Twojego rozwiązania, ale wymyśliłem na podstawie Twojego coś prostszego )