rząd elementu

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

rząd elementu

Post autor: BlueSky » 7 lip 2011, o 21:40

Elementy \(\displaystyle{ a, b}\) pewnej grupy spełniają równość \(\displaystyle{ aba^{-1}=b^2}\), przy czym \(\displaystyle{ b}\) nie jest elementem neutralnym. Udowodnij, że rząd elementu \(\displaystyle{ b}\) nie jest liczbą parzystą.

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

rząd elementu

Post autor: » 7 lip 2011, o 21:53

Wskazówka - załóż nie wprost, że rząd \(\displaystyle{ b}\) jest równy \(\displaystyle{ 2k}\) i podnieś równość stronami do potęgi \(\displaystyle{ k}\).

Q.

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

rząd elementu

Post autor: BlueSky » 7 lip 2011, o 21:56

Ok. Wtedy mam, że: \(\displaystyle{ ab^ka^{-1}=e \Rightarrow ab^k=a \Rightarrow b^k=e}\) i sprzeczność, bo mieliśmy, że \(\displaystyle{ b^{2k}=e}\). Czy dobrze myślę?

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

rząd elementu

Post autor: » 7 lip 2011, o 21:58

Ściślej: sprzeczność wynika z tego, że \(\displaystyle{ n=2k}\) miało być najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą taką, że \(\displaystyle{ b^n=1}\), a znaleźliśmy mniejszą, tzn. \(\displaystyle{ n=k}\).

Q.

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

rząd elementu

Post autor: BlueSky » 7 lip 2011, o 22:10

Dzięki za pomoc.

ODPOWIEDZ