Dowód nierówności

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
forestwow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 9 sty 2011, o 16:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: opole

Dowód nierówności

Post autor: forestwow » 7 lip 2011, o 16:00

Mam do udowodnienia taka indukcję :

\(\displaystyle{ 2^{n} > n^{2}}\)

Baza indukcji : dla \(\displaystyle{ n \ge 5}\)

krok indukcyjny :
\(\displaystyle{ 2^{k+1} = 2 \cdot 2^{k} > 2k^{2} = k^{2}+k^{2} = k^{2} + \frac{k^{2}}{2}+\frac{k^{2}}{2} > k^{2} +\frac{5k}{2}+\frac{25}{2}>k^{2}+2k+1=(k+1)^{2}}\)

Po pokazaniu mojemu profesorowi takiego rozwiązania dostałem odpowiedź, że jestem blisko, oraz podpowiedź że mam skorzystać z tego że \(\displaystyle{ k \ge 5}\). Niestety w tym momencie dostałem czarnej dziury, bo nie wiem jak mam z profesora podpowiedzi skorzystać, jakieś pomysły, podpowiedzi, cokolwiek ?

Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 7 lip 2011, o 16:10 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot

Awatar użytkownika
piti-n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 534
Rejestracja: 24 gru 2010, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroclaw
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 45 razy

Dowód nierówności

Post autor: piti-n » 7 lip 2011, o 16:19

Chyba zacznij od pierwszego kroku
krok\(\displaystyle{ 1 ^{o}}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{5} >5 ^{2}}\)

forestwow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 9 sty 2011, o 16:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: opole

Dowód nierówności

Post autor: forestwow » 7 lip 2011, o 16:31

Pierwszy krok zawarłem w tym ze \(\displaystyle{ n \ge 5}\) chodzi mi tutaj o drugi etap indukcji.

Awatar użytkownika
cyberciq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 450
Rejestracja: 19 kwie 2010, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 43 razy

Dowód nierówności

Post autor: cyberciq » 7 lip 2011, o 16:53

\(\displaystyle{ 2k^2>k^2+2n+1 \Leftrightarrow k>1+ \sqrt{2} \vee k<1- \sqrt{2}}\)

pozdrawiam

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1543
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 408 razy

Dowód nierówności

Post autor: bosa_Nike » 7 lip 2011, o 16:58

forestwow pisze:\(\displaystyle{ k^{2} + \frac{k^{2}}{2}+\frac{k^{2}}{2}\ {\color{red}\ge}\ k^{2} +\frac{5k}{2}+\frac{25}{2}}\)
Jeżeli to cokolwiek znaczy, to uważam, że poza tym krok indukcyjny został przeprowadzony prawidłowo. Jedyne, co mogę doradzić, to przeredagowanie i liczenie na to, że tym razem trafisz w gust oceniającego. Np. tak:

\(\displaystyle{ 2^{k+1} = 2 \cdot 2^{k} > 2k^{2} = k^{2}+k^{2} \ge k^{2} + 5k =\\ k^{2} +2k+1+3k-1=(k+1)^2+3k-1\ge (k+1)^2+14>(k+1)^2}\)

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16292
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 3233 razy

Dowód nierówności

Post autor: anna_ » 7 lip 2011, o 17:09

A może tak:

\(\displaystyle{ k^2>2k+1}\)
\(\displaystyle{ k^2-2k-1>0}\) dla \(\displaystyle{ k \in (- \infty ;1- \sqrt{2}) \cup ( \sqrt{2} +1;+ \infty )}\)
stąd
\(\displaystyle{ k^2>2k+1}\) dla \(\displaystyle{ k \ge 5}\)


\(\displaystyle{ 2^{k+1} = 2 \cdot 2^{k} > 2k^{2} = k^{2}+k^{2}> k^{2} + 2k+1=(k+1)^{2}}\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26897
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4496 razy

Dowód nierówności

Post autor: Jan Kraszewski » 8 lip 2011, o 22:34

forestwow pisze:Pierwszy krok zawarłem w tym ze \(\displaystyle{ n \ge 5}\) chodzi mi tutaj o drugi etap indukcji.


Co masz na myśli?

JK

ODPOWIEDZ