Matematyka.pl

Dla jakich wartosci parametru \(\displaystyle{ m}\) rownanie ma cztery rozne pierwiastki?
\(\displaystyle{ x ^{4} +mx ^{2}+1=0}\)

pierw \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ t}\) zamienilem i wyliczylem delte
wychodzi mi \(\displaystyle{ m \in \left( - \infty ;-2\right) \cup \left( 2; \infty \right)}\)
a powinna byc odpowiedz zadania \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ;-2\right)}\)
dlaczego??

Jak liczyłeś? Uwzględniłeś to, że pierwiastki \(\displaystyle{ t_{1}}\) i \(\displaystyle{ t_{2}}\) muszą być większe od zera?

Zapisz dziedzinę drugiej funkcji.
Zastanów się czy warunek \(\displaystyle{ \Delta >0}\) jest wystarczający....

Czyli jeszcze musze obliczyc dziedzine iloczynu pierwiastkow dodatnich i sume pierwiastkow dodatnich

Podstawiłeś:

\(\displaystyle{ t=x^2}\)

otrzymując równanie:

\(\displaystyle{ t^2+mt+1}\).

Szukasz teraz takich \(\displaystyle{ m}\), żeby to równanie miało dwa różne nieujemne pierwiastki - ujemne nie dadzą rozwiązań wyjściowego równania. Ze wzorów Viete wynika, że albo oba są ujemne, albo oba są dodatnie, więc wystarczy wyznaczyć takie \(\displaystyle{ m}\), że wierzchołek paraboli leży na prawo od osi Y. Wierzchołek leży w punkcie będącym rozwiązaniem równania (liczymy pochodną)

\(\displaystyle{ 2t+m=0}\)

skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ m<0}\).

Dwa różne pierwiastki mamy wtedy, i tylko wtedy gdy

\(\displaystyle{ m^2-4>0}\)

co w połączeniu z \(\displaystyle{ m<0}\) daje:

\(\displaystyle{ m\in(-\infty,-2)}\)

Ze wzorów Viete'a iloczyn pierwiastków jest zawsze równy 1
Suma pierwiastków wynosi \(\displaystyle{ \frac{-m}{2}}\). Aby były cztery różne rozwiązania równania wyjściowego, iloczyn i suma pierwiastków równania kwadratowego muszą być dodatnie. Ponadto delta większa od zera. Z delty mamy że \(\displaystyle{ m \in (- \infty ;-2) \cup (2; \infty )}\), zaś z sumy pierwiastków mamy \(\displaystyle{ m<0}\). Stąd odpowiedź to \(\displaystyle{ m \in (- \infty ;-2)}\)