Równanie różniczkowe jednorodne

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Antos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 6 lip 2011, o 21:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 5 razy

Równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: Antos » 6 lip 2011, o 22:12

Witam

Proszę o pomoc w rozwiązaniu równaniu różniczkowego jednorodnego:
\(\displaystyle{ y=\frac{y^{2}-y}{x}}\)

Na razie doszedłem do:

\(\displaystyle{ y=\frac{2xy-x-y{2}-y}{x^{2}}}\) policzona pochodna
\(\displaystyle{ z+xz^{'}=2x-z^{2}-\frac{z}{x}-\frac{1}{x}}\) I po podstawieniu się gubię i nie wiem co dalej

Awatar użytkownika
Spektralny
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3964
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 926 razy

Równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: Spektralny » 6 lip 2011, o 22:17

Rozmiem, że chodzi Ci o

\(\displaystyle{ y^\prime = \frac{y^2-y}{x}}\) ?

Jeżeli tak, to

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}\frac{1}{y^2-y}=\frac{1}{x}}\)

skąd

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{y(1-y)}dy=\int\frac{1}{x}dx}\)

teraz już prosto?

Antos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 6 lip 2011, o 21:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 5 razy

Równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: Antos » 6 lip 2011, o 22:22

No dokładnie o to chodzi. Dzięki.
Z całką sobie poradzę, ale chciałbym jeszcze wiedzieć jak przeszedłeś z tej pierwszej postaci na drugą?

Awatar użytkownika
Spektralny
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3964
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 926 razy

Równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: Spektralny » 6 lip 2011, o 22:23

Stosuję zapis \(\displaystyle{ y^\prime = \frac{dy}{dx}}\) (od Newtona do Leibniza) oraz dzielę stronami wyrażenie przez \(\displaystyle{ y^2-y}\).

Antos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 6 lip 2011, o 21:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 5 razy

Równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: Antos » 6 lip 2011, o 22:44

I ten algorytm można stosować do każdego równania jednorodnego, czy tylko w jakiś konkretnych przykładach? Wykładowca sprzedał nam algorytm, w którym należy wykonać podstawienie \(\displaystyle{ z= \frac{y(X)}{x}}\)

emaerio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 7 kwie 2011, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 4 razy

Równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: emaerio » 7 lip 2011, o 01:04

jest to jedna z metod, ale co widac na powyzszym przykadzie, niezawsze konieczna.

Antos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 6 lip 2011, o 21:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 5 razy

Równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: Antos » 7 lip 2011, o 08:04

A mógłbyś ten sam przykład rozpisać tą drugą metodą, żebym miał porównanie?

ODPOWIEDZ