Problem z transformatą Laplace'a (pytanie o szeczegół)

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
mkacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 4 lis 2010, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska :)
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3 razy

Problem z transformatą Laplace'a (pytanie o szeczegół)

Post autor: mkacz » 6 lip 2011, o 20:31

Witam,

otóż wiem, że przy pomocy transformaty Laplace'a mogę rozwiązywać równania różniczkowe. Tylko jest problem - co zrobić, gdy nie mam danych wartości \(\displaystyle{ f^{(n)}(0^{+})}\) ? Wiem, że istnieje wzór na wartość oryginału w zerze \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0^{+} } f (t) = \lim_{s \to \infty } s F(s)}\), gdzie \(\displaystyle{ F(s)}\) to transformata Laplace'a oryginału \(\displaystyle{ f(t)}\). Liczyć "na chama", przyjmując nieznane wartości pochodnych za "stałe"?

Z góry dziękuję za odpowiedzi. ;)

----------- EDIT --------------------
Czy np. przy użyciu transformaty Laplace'a mogę rozwiązać takie równanie różniczkowe: \(\displaystyle{ y''' - y=0}\)? (nie mam danych wartości \(\displaystyle{ f^{(n)}(0^{+})}\))

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Problem z transformatą Laplace'a (pytanie o szeczegół)

Post autor: Lorek » 6 lip 2011, o 23:44

Na przykład tutaj 239244.htm jest przykład bez podanych wartości, więc można (z tym, że będzie pewnie trochę trudniej).

mkacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 4 lis 2010, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska :)
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3 razy

Problem z transformatą Laplace'a (pytanie o szeczegół)

Post autor: mkacz » 7 lip 2011, o 00:11

Lorek pisze:Na przykład tutaj 239244.htm jest przykład bez podanych wartości, więc można (z tym, że będzie pewnie trochę trudniej).
No dobrze, więc ja to równanie \(\displaystyle{ y'''-8y=0}\) (jedno z Krysickiego z części 2.) robię tak:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{y'''} \right\}-8 \mathcal{L}\left\{y} \right\} = 0 s \mathcal{L} \left\{y''} \right\}-y''( 0^{+} ) - 8 \mathcal{L} \left\{y} \right\}=0 s[s \mathcal{L} \left\{y'} \right\}-y'(0^{+})]-y''(0^{+})-8 \mathcal{L} \left\{y} \right\}=0 s^{2}\mathcal{L} \left\{y'} \right\}-sy'(0^{+})-y''(0^{+})-8 \mathcal{L} \left\{y} \right\}=0 s^{2}[s \mathcal{L}\left\{y} \right\}-y(0^{+})]-sy'(0^{+})-y''(0^{+})-8 \mathcal{L} \left\{y} \right\}=0 s^{3} \mathcal{L} \left\{y} \right\}-s^{2}y(0^{+})-sy'(0^{+})-y''(0^{+})-8 \mathcal{L} \left\{y} \right\}=0 \mathcal{L}\left\{y} \right\}[s^{3}-8]=s^{2}y(0^{+})+sy'(0^{+})+y''(0^{+}) \mathcal{L}\left\{y} \right\}= \frac{s^{2}y(0^{+})+sy'(0^{+})+y''(0^{+})}{s^{3}-8}}\)

I cóż dalej?

alek160
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 399
Rejestracja: 30 maja 2009, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 86 razy

Problem z transformatą Laplace'a (pytanie o szeczegół)

Post autor: alek160 » 7 lip 2011, o 00:16

W metodzie klasycznej rozwiązywania równań różniczkowych stosuje się 'dwa kroki'.
1. Rozwiązanie stanu przejściowego
2. Rozwiązanie stanu ustalonego
W metodzie transformaty Laplace'a stosujemy tylko jeden krok.
Metoda wymaga stosowania warunków poczatkowych. W efekcie otrzymujemy pełne rozwiązanie RR obejmujące stan przejściowy oraz stan ustalony. Pominięcie - w tej metodzie - warunków początkowych oznacza, że przyjmujesz 'a priori' zerowe warunki początkowe.

Pozdrawiam.

mkacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 4 lis 2010, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska :)
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3 razy

Problem z transformatą Laplace'a (pytanie o szeczegół)

Post autor: mkacz » 7 lip 2011, o 00:31

alek160, tylko, że jak przyjmę wartości początkowe \(\displaystyle{ f^{(n)}( 0^{+})=0}\) to (w większości przypadków, bo w przypadku, gdy będę miał w równaniu przynajmniej jedną stałą to powinno być ok) spowoduje to wyzerowanie licznika ułamka, a w konsekwencji - okaże się, że \(\displaystyle{ F(s)=0}\) a wzoru na transformatę odwrotną funkcji zerowej - nie znam.

Awatar użytkownika
steal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1043
Rejestracja: 7 lut 2007, o 18:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok|Warszawa
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 160 razy

Problem z transformatą Laplace'a (pytanie o szeczegół)

Post autor: steal » 7 lip 2011, o 01:42

W takim razie odpowiedz na pytanie: dla jakiej wartości oryginału, jego transformata jest równa zeru?
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\{f\} = \int e^{-st}f(t)dt}}\)

alek160
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 399
Rejestracja: 30 maja 2009, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 86 razy

Problem z transformatą Laplace'a (pytanie o szeczegół)

Post autor: alek160 » 7 lip 2011, o 02:00

W takim razie konieczne jest objaśnienie.
Równania różniczkowe wymyślono głównie do analizy stanu układów dynamicznych.
Układy dynamiczne w praktyce, to np:
1. Układ zawieszenia w samochodzie w chwili gdy samochód wpadnie w dziurę w jezdni,
2. Napęd walcarki w hucie przy produkcji szyn kolejowych w chwili utyku,
3. Temperatura w piecu podczas produkcji grafitu w chwili zaniku napięcia zasilania,
4. Kontenerowiec podczas zbliżania się do nabrzeża w porcie w chwili zerwania liny cumowniczej,
5. Sieć energetyczna w stanie zwarcia,
Mamy więc lewą stronę równania różniczkowego, która opisuje dynamikę obiektu oraz prawą stronę, która opisuje funkcję pobudzenia. Jeśli funkcji pobudzenia nie ma po prawej stronie RR, to oznacza że pobudzenie wykonało pracę i w efekcie powstały warunki początkowe dla chwili t=0+. Jeśli w zadaniu nie podano konkretnych liczb, należy RR rozwiązać na wyrażeniach ogólnych.
Jeśli w równaniu różniczkowym nie podano funkcji pobudzającej ani warunków początkowych (ze świadomością, że warunków początkowych nie ma) to oznacza, że układ dynamiczny znajduje się w spoczynku (stan ustalony) i w takim przypadku nie stosujemy metody Laplace'a.
Trochę przynudziłem. Pozdrawiam.

mkacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 4 lis 2010, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska :)
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3 razy

Problem z transformatą Laplace'a (pytanie o szeczegół)

Post autor: mkacz » 7 lip 2011, o 11:16

steal, transformata będzie równa zero jak całka Laplace'a będzie 0, a tak będzie jedynie w przypadku, gdy \(\displaystyle{ f(t)=0}\), bo \(\displaystyle{ e^{-s*t}}\) jest funkcją wykładniczą, czyli nie istnieje takie \(\displaystyle{ t \in R}\) dla którego \(\displaystyle{ e^{-s*t}=0}\). Owszem ta funkcja \(\displaystyle{ e^{-s*t}}\) będzie się zbliżać do zera ale go nie przekroczy, czyli 0 jest jej granicą.

Awatar użytkownika
steal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1043
Rejestracja: 7 lut 2007, o 18:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok|Warszawa
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 160 razy

Problem z transformatą Laplace'a (pytanie o szeczegół)

Post autor: steal » 7 lip 2011, o 13:46

No właśnie, więc rozwiązaniem tego równania różniczkowego jest \(\displaystyle{ y(t)=0}\)

ODPOWIEDZ