Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
wojtekjaskula
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 7 gru 2010, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: P-Ń
Podziękował: 1 raz

Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie

Post autor: wojtekjaskula » 6 lip 2011, o 11:25

Witam, mam nadzieję że dobry dział.
Mógłby mi ktoś pomóc rozwiązać to równanie ? Generalnie nie za bardzo wiem jak się do tego zabrać.

\(\displaystyle{ 288x-245y=2}\)

Generalnie chyba jedyne co wiem to mogę założyć że \(\displaystyle{ x \neq -288}\) \(\displaystyle{ y \neq 245}\) ?
Ostatnio zmieniony 6 lip 2011, o 11:47 przez Zordon, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie

Post autor: ares41 » 6 lip 2011, o 12:00

Na początek może coś takiego:
\(\displaystyle{ 288x-245y=2 \Leftrightarrow 288x-2=245y}\)
Zauważ, że lewa strona jest podzielna przez dwa.

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie

Post autor: Vax » 6 lip 2011, o 12:08

\(\displaystyle{ (*) 288x-245y=2}\)

Rozpatrzmy dane równanie \(\displaystyle{ \pmod{245}}\), otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 288x \equiv 2\pmod{245}}\)

Z Rozszerzonego algorytmu Euklidesa wyznaczamy \(\displaystyle{ 43^{-1}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{245}}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 43^{-1} = 57}\) i mnożymy przez to naszą kongruencje:

\(\displaystyle{ 43x \equiv 2\pmod{245} /\cdot 57}\)

\(\displaystyle{ x \equiv 114 \pmod{245} \Leftrightarrow x = 245n+114}\)

Wstawiamy do (*) i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 288(245n+114)-245y = 2 \\ 245y = 288\cdot 245n + 32830/:245 \Leftrightarrow y = 288n+134}\)

Czyli dane równanie spełnia nieskończenie wiele par liczb całkowitych postaci \(\displaystyle{ (x,y) = (245n+114 , 288n+134)}\) gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą.

ODPOWIEDZ