Witam, mam nadzieję że dobry dział.
Mógłby mi ktoś pomóc rozwiązać to równanie ? Generalnie nie za bardzo wiem jak się do tego zabrać.
\(\displaystyle{ 288x-245y=2}\)
Generalnie chyba jedyne co wiem to mogę założyć że \(\displaystyle{ x \neq -288}\) \(\displaystyle{ y \neq 245}\) ?
Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: P-Ń
- Podziękował: 1 raz
Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie
Ostatnio zmieniony 6 lip 2011, o 11:47 przez Zordon, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie
Na początek może coś takiego:
\(\displaystyle{ 288x-245y=2 \Leftrightarrow 288x-2=245y}\)
Zauważ, że lewa strona jest podzielna przez dwa.
\(\displaystyle{ 288x-245y=2 \Leftrightarrow 288x-2=245y}\)
Zauważ, że lewa strona jest podzielna przez dwa.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie
\(\displaystyle{ (*) 288x-245y=2}\)
Rozpatrzmy dane równanie \(\displaystyle{ \pmod{245}}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 288x \equiv 2\pmod{245}}\)
Z Rozszerzonego algorytmu Euklidesa wyznaczamy \(\displaystyle{ 43^{-1}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{245}}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 43^{-1} = 57}\) i mnożymy przez to naszą kongruencje:
\(\displaystyle{ 43x \equiv 2\pmod{245} /\cdot 57}\)
\(\displaystyle{ x \equiv 114 \pmod{245} \Leftrightarrow x = 245n+114}\)
Wstawiamy do (*) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 288(245n+114)-245y = 2 \\ 245y = 288\cdot 245n + 32830/:245 \Leftrightarrow y = 288n+134}\)
Czyli dane równanie spełnia nieskończenie wiele par liczb całkowitych postaci \(\displaystyle{ (x,y) = (245n+114 , 288n+134)}\) gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą.
Rozpatrzmy dane równanie \(\displaystyle{ \pmod{245}}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 288x \equiv 2\pmod{245}}\)
Z Rozszerzonego algorytmu Euklidesa wyznaczamy \(\displaystyle{ 43^{-1}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{245}}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 43^{-1} = 57}\) i mnożymy przez to naszą kongruencje:
\(\displaystyle{ 43x \equiv 2\pmod{245} /\cdot 57}\)
\(\displaystyle{ x \equiv 114 \pmod{245} \Leftrightarrow x = 245n+114}\)
Wstawiamy do (*) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 288(245n+114)-245y = 2 \\ 245y = 288\cdot 245n + 32830/:245 \Leftrightarrow y = 288n+134}\)
Czyli dane równanie spełnia nieskończenie wiele par liczb całkowitych postaci \(\displaystyle{ (x,y) = (245n+114 , 288n+134)}\) gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą.