Zaburzanie sum.

Zbiór informacji o elementarnych zagadnieniach matematyki, klasyfikowanych najczęściej jako "ciekawostki" właśnie...
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Zaburzanie sum.

Post autor: » 5 lip 2011, o 13:15

ZABURZANIE SUM
Zaburzanie sum to oparta na prostym pomyśle metoda obliczania sum (tzn. przedstawiania ich w postaci zwartej).

\(\displaystyle{ \phantom{a}\\}\)
Idea.
Niech \(\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k}\). Przedstawmy sumę \(\displaystyle{ S_{n+1}}\) na dwa sposoby. Z jednej strony mamy oczywiście:
\(\displaystyle{ S_{n+1}=S_n+a_{n+1}}\)
Z drugiej zaś mamy:
\(\displaystyle{ S_{n+1}=a_1+\sum_{k=2}^{n+1}a_k=a_1+\sum_{k=1}^{n}a_{k+1}}\)
gdzie w ostatniej równości dokonano przesunięcia wskaźnika sumowania
Przesunięcie wskaźnika sumowania - wyjaśnienie:    
Otrzymaliśmy zatem wzór:
\(\displaystyle{ \boxed{\boxed{S_n+a_{n+1}=a_1+\sum_{k=1}^na_{k+1}}}}\)
Idea zaburzania oparta jest na tym, że w sporej klasie sum z wyrażenia po prawej stronie można jakoś "wydobyć" \(\displaystyle{ S_n}\), dzięki czemu dostaniemy równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ S_n}\), które łatwo rozwiązać.
Zwróćmy jeszcze uwagę, że powyższa równość łatwo uogólnia się na:
\(\displaystyle{ \boxed{\boxed{\sum_{k=m}^Ma_k+a_{M+1}=a_m+\sum_{k=m}^Ma_{k+1}}}}\)
W praktyce wygodniej jest jednak nie podstawiać od razu do tych wzorów (bo po co sobie zaśmiecać nimi pamięć), tylko wykonać za każdym razem analogiczny rachunek.
Przykłady.
  • \(\displaystyle{ S_n=\sum_{k=0}^{n}q^k}\), gdzie \(\displaystyle{ q\neq 1}\)
    Mamy:
    \(\displaystyle{ S_n+q^{n+1}=1+\sum_{k=1}^{n+1}q^k=1+\sum_{k=0}^{n}q^{k+1}=
    1+q\sum_{k=0}^{n}q^{k}=1+qS_n}\)

    a stąd:
    \(\displaystyle{ (q-1)S_n=q^{n+1}-1}\)
    czyli
    \(\displaystyle{ S_n=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}}\)
  • \(\displaystyle{ S_n=\sum_{k=0}^{n}k2^k}\)
    Mamy:
    \(\displaystyle{ S_n+(n+1)2^{n+1}=0\cdot 2^0+\sum_{k=1}^{n+1}k2^k=\sum_{k=0}^n(k+1)2^{k+1}=\\ =2\sum_{k=0}^{n}k2^k+2\sum_{k=0}^n2^k=2S_n+2\cdot (2^{n+1}-1)}\)
    a stąd:
    \(\displaystyle{ S_n=(n+1)2^{n+1}-2\cdot (2^{n+1}-1)=(n-1)2^{n+1}+2}\)
  • \(\displaystyle{ S_n=\sum_{k=0}^{n}k^2}\)
    Mamy:
    \(\displaystyle{ S_n+(n+1)^2=0^2+\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\sum_{k=0}^{n}(k+1)^2=\sum_{k=0}^{n}(k^2+2k+1)= \\ =\sum_{k=0}^{n}k^2+2\sum_{k=0}^{n}k+ n+1=S_n+2\sum_{k=0}^{n}k+ n+1}\)
    Niestety \(\displaystyle{ S_n}\) się skraca, wydawać więc by się mogło, że metoda zawiodła. Zauważmy jednak, że efektem ubocznym jest obliczenie sumy \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}k}\), która wynosi:
    \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}k=\frac 12 \cdot ((n+1)^2-(n+1))=\frac{n(n+1)}{2}}\).
    Skoro więc zaburzenie sumy kwadratów pozwoliło nam obliczyć sumę pierwszych potęg, to może zaburzenie sumy sześcianów pozwoli nam obliczyć sumę kwadratów? Istotnie:
    \(\displaystyle{ U_n=\sum_{k=0}^{n}k^3}\)
    Mamy:
    \(\displaystyle{ U_n+(n+1)^3=0^3+\sum_{k=1}^{n+1}k^3=\sum_{k=0}^{n}(k+1)^3=\\ =\sum_{k=0}^{n}(k^3+3k^2+3k+1)=
    U_n+3S_n+3\sum_{k=0}^{n}k + n+1}\)

    a stąd:
    \(\displaystyle{ S_n=\frac 13\left( (n+1)^3-\frac{3n(n+1)}{2}-(n+1)\right) =\\ =\frac{2(n+1)n(n+2)-3n(n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)
(C) by Qń

Wszelkie uwagi, komentarze i pytania proszę przesyłać w wiadomości prywatnej

ODPOWIEDZ