[Analiza] funkcja dwukrotnie różniczkowalna

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
darek20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 874
Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wszedzie
Podziękował: 248 razy
Pomógł: 10 razy

[Analiza] funkcja dwukrotnie różniczkowalna

Post autor: darek20 » 4 lip 2011, o 21:55

Niech \(\displaystyle{ f:R\to R}\) będzie dwukrotnie różniczkowalna oraz \(\displaystyle{ f(0)=2, f'(0)=-2, f(1)=1}\). Pokaż ze istnieje \(\displaystyle{ c\in (0,1)}\) takie że \(\displaystyle{ f(c)f'(c)+f''(c)=0.}\)
Ostatnio zmieniony 4 lip 2011, o 23:35 przez szw1710, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Strzałka odwzorowania: \to

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18765
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3728 razy

[Analiza] funkcja dwukrotnie różniczkowalna

Post autor: szw1710 » 4 lip 2011, o 23:36

O tak później porze umiem tylko z dodatkowym założeniem \(\displaystyle{ f'(1)=-\frac{1}{2}.}\) Wtedy to prosty wniosek z twierdzenia Rolle'a zastosowanego do funkcji pomocniczej \(\displaystyle{ g(x)=f'(x)+\frac{1}{2}\left(f(x)\right)^2.}\)

darek20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 874
Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wszedzie
Podziękował: 248 razy
Pomógł: 10 razy

[Analiza] funkcja dwukrotnie różniczkowalna

Post autor: darek20 » 5 lip 2011, o 21:55

ale takiego załozenia nie ma

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18765
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3728 razy

[Analiza] funkcja dwukrotnie różniczkowalna

Post autor: szw1710 » 5 lip 2011, o 22:05

Wiem, że nie ma Mówię, że przy takim zadanie jest łatwe. Na trudniejszą wersję nie miałem wczoraj siły. Dziś zresztą też nie mam. Oczywiście przetestowałem sytuację braku tego dodatkowego założenia i na mojej funkcji testowej warunek zachodzi. Więc jest pozytywnie - trzeba szukać dowodu, nie kontrprzykładu.

Często problemy rozwiązuje się przy założeniach upraszczających, przed atakiem na problem prawdziwy.

Awatar użytkownika
adamm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 253
Rejestracja: 1 paź 2009, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot/Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 15 razy

[Analiza] funkcja dwukrotnie różniczkowalna

Post autor: adamm » 6 lip 2011, o 00:12

Weźmy sobie \(\displaystyle{ f(x)=x^2-2x+2}\). Łatwo teraz zauważyć, że dla \(\displaystyle{ c=1-\sqrt[3]{\frac{2}{3(\sqrt{93}-9)}}+\sqrt[3]{\frac{\frac{1}{2}(\sqrt{93}-9)}{9}} \approx 0,317672\in(0,1)}\) wszystko jest spełnione i równość trzyma.

abc666

[Analiza] funkcja dwukrotnie różniczkowalna

Post autor: abc666 » 6 lip 2011, o 12:55

adamm no i co z tego?

Awatar użytkownika
adamm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 253
Rejestracja: 1 paź 2009, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot/Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 15 razy

[Analiza] funkcja dwukrotnie różniczkowalna

Post autor: adamm » 6 lip 2011, o 13:28

Teraz zostało raptem \(\displaystyle{ \infty-1}\) funkcji do sprawdzenia, ale jest nadzieja.

norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

[Analiza] funkcja dwukrotnie różniczkowalna

Post autor: norwimaj » 6 lip 2011, o 16:38

W moim dowodzie niestety sporo miejsca zajmuje pokonywanie pewnych technicznych trudności, co ma zły wpływ na czytelność. Pomysł polega na rozpatrzeniu takiej funkcji \(\displaystyle{ g}\), dla której \(\displaystyle{ g'(x)+\frac12(g(x))^2=0}\). Posługując się tą funkcją pokazuję, że da się skorzystać z tw. Rolle, podobnie jak to zrobił szw1710, na być może trochę mniejszym przedziale. Na początku dowodu zakładam więc, że nie da się w ten sposób tw. Rolla wykorzystać, żeby po mozolnym rozpatrzeniu, co wtedy się dzieje, dojść do sprzeczności.
Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ