Rozwiąż równianie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
wiolusiarhcp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 7 mar 2009, o 20:35
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: szczecin
Podziękował: 13 razy

Rozwiąż równianie

Post autor: wiolusiarhcp » 3 lip 2011, o 21:19

\(\displaystyle{ z ^{3} +1=0}\)

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Rozwiąż równianie

Post autor: pyzol » 3 lip 2011, o 21:20

A w rzeczywistych to potrafisz rozwiązać?

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Rozwiąż równianie

Post autor: Majeskas » 3 lip 2011, o 21:32

Podpowiedź:

\(\displaystyle{ a^3+b^3=\left( a+b\right)\left( a^2-ab+b^2\right)}\)

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

Rozwiąż równianie

Post autor: Funktor » 3 lip 2011, o 21:42

wiolusiarhcp, Możesz też zapisać w postaci trygonometrycznej -1 i potem ze wzory de Moivra skorzystać żeby wyciągnąć pierwiastki 3 stopnia z -1

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Rozwiąż równianie

Post autor: Majeskas » 3 lip 2011, o 22:20

Moim zdaniem nie warto tego robić. Po skorzystaniu ze wzorów skróconego mnożenia wystarczy rozłożyć nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) odpowiedni trójmian kwadratowy.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9327
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2040 razy

Rozwiąż równianie

Post autor: Dasio11 » 4 lip 2011, o 11:24

Wzór de Moivre'a to też jest głęboka podstawa i nie powiedziałbym, że jest bardziej zaawansowany od wzorów na pierwiastki równania kwadratowego...
Ten wzór oddaje bowiem całą istotę mnożenia liczb zespolonych: mnożenie modułów i dodawanie kątów. Dlatego w mojej opinii jest to dość elementarne narzędzie.

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Rozwiąż równianie

Post autor: Majeskas » 4 lip 2011, o 12:22

A czy ja powiedziałem, że wzór de Moivre'a nie jest istotnym narzędziem? Nie uważam, że jest bardziej zaawansowany od wzorów na pierwiastki trójmianu. Uważam po prostu, że jest to na tyle prosty przykład, iż posłużenie się rozkładem trójmianu kwadratowego szybciej da efekt niż używanie wzoru de Moivre'a

[quote="Dasio11"]
Ten wzór oddaje bowiem całą istotę mnożenia liczb zespolonych: mnożenie modułów i dodawanie kątów. Dlatego w mojej opinii jest to dość elementarne narzędzie.[/quote]

Ekstra, ale chyba ktoś nie ma potrzeby smakowania głębokiej istoty mnożenia liczb zespolonych, tylko chciałby rozwiązać równanie. Co w mojej opinii zrobi się najprościej rozkładając trójmian.

Weźmy trójkąt prostokątny. Istotą związku między długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt, a długościami boków tego trójkąta jest wzór: \(\displaystyle{ r= \frac{S}{p}}\). Czy w związku z tym źle będzie skorzystać z własności trójkąta prostokątnego, tj. \(\displaystyle{ r= \frac{a+b-c}{2}}\) (\(\displaystyle{ c}\) - przeciwprostokątna)? Nie, nie będzie źle, a wręcz lepiej, bo jest to prostszy związek i szybciej może dać rezultaty.

Kolega to chyba lubi pisać trochę o niczym.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9327
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2040 razy

Rozwiąż równianie

Post autor: Dasio11 » 4 lip 2011, o 12:50

[quote="Majeskas"]A czy ja powiedziałem, że wzór de Moivre'a nie jest istotnym narzędziem? Nie uważam, że jest bardziej zaawansowany od wzorów na pierwiastki trójmianu. Uważam po prostu, że jest to na tyle prosty przykład, iż posłużenie się rozkładem trójmianu kwadratowego szybciej da efekt niż używanie wzoru de Moivre'a
[/quote]

A napisałem, że powiedziałeś, że nie jest istotnym? W ogóle nie pisałem nic o istocie tego narzędzia.
Przy rozkładzie trójmianu typu \(\displaystyle{ z^2-z+1}\) trzeba trochę popisać pierwiastków z trzech przed dwa i takich tam, trzeba delty obliczać itp. Wprawnie zastosowany wzór de Moivre'a natychmiast daje rozwiązania w postaci trygonometrycznej: \(\displaystyle{ \cos \varphi_k + \mathrm i \sin \varphi_k}\) dla \(\displaystyle{ \varphi_k = \frac{\pi+2k \pi}{3}.}\) Moim zdaniem prostsze.

[quote="Majeskas"]Kolega to chyba lubi pisać trochę o niczym.[/quote]

"Kolega" chyba mnie nie lubi od pierwszej dyskusji. ^^

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Rozwiąż równianie

Post autor: Majeskas » 4 lip 2011, o 13:05

Kolega nie ma o Tobie pojęcia, więc trudno mówić o lubieniu, czy nielubieniu. Kolega tylko nie lubi jak ktoś czasem pisze bardziej dla pisania niż dlatego, że ma to sens. A takie miewam wrażenie. I tyle,

Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ