Wzór na sumę ciągu.

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Simon86
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 283
Rejestracja: 28 sie 2010, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnowskie Góry
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 39 razy

Wzór na sumę ciągu.

Post autor: Simon86 » 3 lip 2011, o 20:16

Znaleźć wzór na sumę ciągu:

\(\displaystyle{ 1 + 2x + 3x^{2} + 4x^{3} + ... + nx^{n-1}}\)

Odpowiedź jest taka \(\displaystyle{ S_{n} = \frac{nx^{n+1}-\left( n+1\right)x^{n}+1}{\left( 1-x\right)^{2}}}\)

Interesuje mnie w jaki sposób dojść do takiego wyniku?

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Wzór na sumę ciągu.

Post autor: » 3 lip 2011, o 20:21

Wskazówka - zróżniczkuj stronami równość:
\(\displaystyle{ 1+x+x^2+\ldots +x^n=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}}\)

Q.

Simon86
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 283
Rejestracja: 28 sie 2010, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnowskie Góry
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 39 razy

Wzór na sumę ciągu.

Post autor: Simon86 » 3 lip 2011, o 20:29

A nie powinno być tak?

\(\displaystyle{ 1+x+x^2+\ldots +x^n=\frac{x^{n}-1}{x-1}}\)

tak mi wychodzi ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego.

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Wzór na sumę ciągu.

Post autor: pyzol » 3 lip 2011, o 20:38

Szereg z lewej strony ma \(\displaystyle{ n+1}\) wyrazów.

Simon86
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 283
Rejestracja: 28 sie 2010, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnowskie Góry
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 39 razy

Wzór na sumę ciągu.

Post autor: Simon86 » 3 lip 2011, o 20:51

No tak zgadza się z tym wykładnikiem.

Pochodna tak wychodzi:

\(\displaystyle{ \left( \frac{x^{n+1}-1}{x-1}\right)^{'} = \frac{\left( n+1\right)x^{n} \cdot \left( x-1\right) -\left( x^{n+1}-1\right)}{\left( x-1\right)^{2}} = \frac{\left( n+1\right)x^{n+1} - \left( n+1\right)x^{n} - x^{n+1} + 1}{\left( x-1\right)^{2}}}\)
Ostatnio zmieniony 3 lip 2011, o 20:52 przez Simon86, łącznie zmieniany 1 raz.

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Wzór na sumę ciągu.

Post autor: » 3 lip 2011, o 20:52

Jak jeszcze uporządkujesz, to dostaniesz dokładnie to co masz dostać.

Q.

Simon86
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 283
Rejestracja: 28 sie 2010, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnowskie Góry
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 39 razy

Wzór na sumę ciągu.

Post autor: Simon86 » 3 lip 2011, o 20:53

Już widzę, dziękuję bardzo

ODPOWIEDZ