Zbadać ciągłość funkcji, asymptoty funkcji, pole obszaru

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
R1990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 639
Rejestracja: 25 lis 2010, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sochaczew
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 19 razy

Zbadać ciągłość funkcji, asymptoty funkcji, pole obszaru

Post autor: R1990 » 3 lip 2011, o 23:57

OK:)

franklin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 26 cze 2011, o 11:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 5 razy

Zbadać ciągłość funkcji, asymptoty funkcji, pole obszaru

Post autor: franklin » 4 lip 2011, o 10:47

Może ktoś wykonac ostatni rzut oka na wszystkie zadania czy sa pełne i poprawne?

ZAD 1

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+3x-4}{x-1} \quad x<1 \\ -x +7 \quad x \ge 1 \end{cases} \\ \\ \lim_{ x\to 1^- } \quad \frac{x^2+3x-4}{x-1} = \frac{(x-1)(x+4)}{x-1} = x+4=5 \\ \\ \lim_{ x\to 1^+ } \quad \frac{x^2+3x-4}{x-1} = \frac{(x-1)(x+4)}{x-1} = x+4=5 \\ \\ \lim_{ x\to 1^+ } \quad -x+7 = -1+7 = 6 \\ \lim_{ x\to 1^- } \quad -x+7 = -1+7 = 6}\)

Funkcja nie jest ciągła, bo lewostronna granica nie jest równa jej wartości.

ZAD 2

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{6x^2-3x}{-2x+3} \\ \\ Df = -2x+3=0 \\ -2x = -3 /: (-2) \\x = \frac{3}{2} \\ \\ \lim_{x\to 3/2+}=-\infty}\)
asymptota pionowa

\(\displaystyle{ a= \lim_{ x\to \infty ^-} = \frac{\frac{6x^2-3x}{-2x+3}}{x} = \frac{6x^2-3x}{-2x^2+3x} = \frac{x^2 \left(6- \frac{3}{x} \right) }{x^2 \left(-2+ \frac{3}{x} \right) } = \frac{-6}{2} =-3}\)
asymptota ukośna

\(\displaystyle{ b= \lim_{ x\to \infty ^+} = \frac{6x^2-3x}{-2x+3} + 3x = \frac{6x^2-3x+3x(-2x+3)}{-2x+3} = \frac{6x^2+3x-6x^2+9x}{-2x+3} = \frac{12x}{-2x+3}= \frac{x(12)}{x \left(-2+ \frac{3}{x} \right) } = \frac{12}{-2} = -6}\)
asymptota pozioma

ZAD 3

\(\displaystyle{ y=-x^3+5x^2+8x-1 \\ f(x)'= -3x^2+10x+8 \\ -3x^2+10x+8>0 \\ x_{1}= \frac{-10-2}{-6}= 2 \\ \\ x_{2}= \frac{-10+2}{-6}= - \frac{4}{3}}\)

wypisuje mini i max funkcji
min funkcji = \(\displaystyle{ - \frac{4}{3}}\)
max funkcji = \(\displaystyle{ 2}\)

\(\displaystyle{ f'(x)}\) jest rosnaca w przedziałe \(\displaystyle{ (- \frac{4}{3}, 2)}\)
\(\displaystyle{ f'(x)}\) jest malejaca w przedziałach \(\displaystyle{ (- \infty ,- \frac{4}{3}) , (2, \infty )}\)

\(\displaystyle{ f"(x)= -6x+10 \ge 0 \\ -6x+10 \ge 0 /:(-6)\\ x \ge \frac{10}{6} = \frac{5}{3}}\)

\(\displaystyle{ f}\) wypukłe w przedziale \(\displaystyle{ \left( \frac{5}{3} , \infty \right)}\)
\(\displaystyle{ f}\) wklesłe w przedziale \(\displaystyle{ \left( - \infty , \frac{5}{3} \right)}\)
punkt przegięcia: \(\displaystyle{ \frac{5}{3}}\)

ZAD 4

\(\displaystyle{ y=x \quad y=x^2-2}\)

\(\displaystyle{ x=x^2-2\\ x^2-x-2=0\\ x _{1} =-1\\ x _{2}=2}\)


\(\displaystyle{ \int \limits_{x_1}^{x_2} x- \left(x^2-2 \right) \mbox dx, \quad x_1<x_2}\)

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{2} x-x^2+2 \mbox dx= \left. \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+2x \right|_{-1}^2}\)
\(\displaystyle{ 2 - \frac{8}{3} +4 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} -2 \\ 4 \frac{2}{3} - \frac{5}{6} -2 = \\ \frac{24}{6} - \frac{5}{6} - \frac{12}{6} = \frac{7}{6}}\)
Ostatnio zmieniony 4 lip 2011, o 11:32 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

miodzio1988

Zbadać ciągłość funkcji, asymptoty funkcji, pole obszaru

Post autor: miodzio1988 » 4 lip 2011, o 11:41

Już pierwsze jest źle. Gubisz limesy co powoduje, że zadanie jest zrobione do bani.

Drugie to samo. Zapis też bez sensu. Wychodzi Ci na to, że dziedzina to jeden punkt ( tak wynika z zapisu )

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9327
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2040 razy

Zbadać ciągłość funkcji, asymptoty funkcji, pole obszaru

Post autor: Dasio11 » 4 lip 2011, o 12:08

1. Byłoby OK, gdybyś jeszcze faktycznie policzył wartość \(\displaystyle{ f(1)}\) - nie musisz za to liczyć granicy prawostronnej.

2.
franklin pisze: \(\displaystyle{ f(x)= \frac{6x^2-3x}{-2x+3} \\ \\ Df = -2x+3=0 \\ -2x = -3 /: (-2) \\x = \frac{3}{2} \\ \\ \lim_{x\to 3/2+}=-\infty}\)
Niezbyt poprawny zapis - raczej powinno być:

\(\displaystyle{ D_f : -2x+3 \neq 0 \\ \\ x \neq \frac{3}{2}}\)
franklin pisze: \(\displaystyle{ \lim_{x\to 3/2+}=-\infty}\)
To również przydałoby się gdzieś tu policzyć, poza tym - zapis z pustą granicą jest błędny. Powinno być:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 3/2^+} f(x) = - \infty}\)
franklin pisze: \(\displaystyle{ a= \lim_{ x\to \infty ^-} = \frac{\frac{6x^2-3x}{-2x+3}}{x} = \frac{6x^2-3x}{-2x^2+3x} = \frac{x^2 \left(6- \frac{3}{x} \right) }{x^2 \left(-2+ \frac{3}{x} \right) } = \frac{-6}{2} =-3}\)
asymptota ukośna

\(\displaystyle{ b= \lim_{ x\to \infty ^+} = \frac{6x^2-3x}{-2x+3} + 3x = \frac{6x^2-3x+3x(-2x+3)}{-2x+3} = \frac{6x^2+3x-6x^2+9x}{-2x+3} = \frac{12x}{-2x+3}= \frac{x(12)}{x \left(-2+ \frac{3}{x} \right) } = \frac{12}{-2} = -6}\)
asymptota pozioma
Po pierwsze, zapis. Ma być:

\(\displaystyle{ a= \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6x^2-3x}{-2x+3}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{6x^2-3x}{-2x^2+3x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 \left(6- \frac{3}{x} \right) }{x^2 \left(-2+ \frac{3}{x} \right) } = \frac{-6}{2} = -3}\)

ważne jest, by przed każdy wyrażeniem pisać \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty},}\) które opuścić można dopiero przy przejściu do granicy (w tym przypadku moment \(\displaystyle{ = \frac{-6}{2}}\)).
Podobnie zapis powinien wyglądać przy liczeniu \(\displaystyle{ b.}\)
Nie wiem, co rozumiesz przez słowa: asymptota pozioma, ale takowej funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie posiada, gdyż \(\displaystyle{ a \neq 0.}\) :-)

Nie bardzo rozumiem też zapis \(\displaystyle{ x \to \infty^+, \ x \to \infty^-}\) - o co chodzi z tymi plusami, minusami?

3. Źle policzone miejsca zerowej pochodnej - powinny wyjść

\(\displaystyle{ x_1 = 4 \\ \\ x_2 = -\frac{2}{3}}\)

Dalej: warto najpierw zapisać gdzie funkcja rośnie, gdzie maleje, a dopiero potem minima i maxima. Z pierwszego od razu widać drugie. :)
franklin pisze: \(\displaystyle{ f"(x)= -6x+10 \ge 0 \\ -6x+10 \ge 0 /:(-6) \\ \\ x \ge \frac{10}{6} = \frac{5}{3}}\)
Gdy dzielisz obustronnie przez liczbę ujemną, powinieneś zmienić znak. Powinno więc być:

\(\displaystyle{ x \le \frac{5}{3}}\)

W związku z tym trzeba zamienić miejscami przedziały wklęsłości/wypukłości z twojego rozwiązania. Punkt przegięcia jest w porządku.


4.
franklin pisze: \(\displaystyle{ \int_{-1}^{2} x-x^2+2 \mbox dx= \left. \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+2x \right|_{-1}^2}\)

\(\displaystyle{ 2 - \frac{8}{3} +4 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} -2 \\ \\ 4 \frac{2}{3} - \frac{5}{6} -2 = \\ \\ \frac{24}{6} - \frac{5}{6} - \frac{12}{6} = \frac{7}{6}}\)
Tu wszystkie obliczenia powinny być w jednej linii i ze znakami równości, bo nie za bardzo wiadomo, o co chodzi. Poza tym, popełniłeś błąd w rachunkach:

\(\displaystyle{ \left. \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+2x \right|_{-1}^2 = 2- \frac{8}{3}+4 - \left( \frac{1}{2} - \frac{-1}{3} + (-2) \right) = 2- \frac{8}{3} +4 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} +2 = \cdots = \frac{9}{2}}\)

franklin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 26 cze 2011, o 11:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 5 razy

Zbadać ciągłość funkcji, asymptoty funkcji, pole obszaru

Post autor: franklin » 4 lip 2011, o 15:08

ZAD 1

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+3x-4}{x-1} \quad x<1 \\ -x +7 \quad x \ge 1 \end{cases} \\ \\ \lim_{ x\to 1^- } \quad \frac{x^2+3x-4}{x-1} = \lim_{ x\to 1^- } \frac{(x-1)(x+4)}{x-1} = x+4=5 \\ \\ \lim_{ x\to 1^+ } \quad \frac{x^2+3x-4}{x-1} = \lim_{ x\to 1^+ } \frac{(x-1)(x+4)}{x-1} = x+4=5 \\ \\ \lim_{ x\to 1^+ } \quad -x+7 = \lim_{ x\to 1^+ } -1+7 = 6 \\ \lim_{ x\to 1^- } \quad -x+7 = \lim_{ x\to 1^- } -1+7 = 6}\)

Jak policzyc wartość \(\displaystyle{ f(1)}\)?


ZAD 2


\(\displaystyle{ f(x)= \frac{6x^2-3x}{-2x+3} \\ \\ D_f : -2x+3 \neq 0 \\ \\ x \neq \frac{3}{2} \\ \\ \lim_{x \to 3/2^+} f(x) = - \infty}\)


\(\displaystyle{ a= \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6x^2-3x}{-2x+3}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{6x^2-3x}{-2x^2+3x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 \left(6- \frac{3}{x} \right) }{x^2 \left(-2+ \frac{3}{x} \right) } = \frac{-6}{2} = -3}\)

\(\displaystyle{ b= \lim_{ x\to \infty} = \lim_{ x\to \infty} \frac{6x^2-3x}{-2x+3} + 3x = \lim_{ x\to \infty} \frac{6x^2-3x+3x(-2x+3)}{-2x+3} = \lim_{ x\to \infty} \frac{6x^2+3x-6x^2+9x}{-2x+3} = \\ \lim_{ x\to \infty} \frac{12x}{-2x+3}= \lim_{ x\to \infty} \frac{x(12)}{x \left(-2+ \frac{3}{x} \right) } = \frac{12}{-2} = -6}\)

Wiec w przypadku gdy w "a" wyjdzie mi cos innego niż 0 to mam nie liczyc "b"?
Po wyliczeniu wszstkiego wymagane jest wstawienie do wzoru? y=ax+b?


ZAD 3

\(\displaystyle{ y=-x^3+5x^2+8x-1 \\ \\ f(x)'= -3x^2+10x+8 \\ \\ -3x^2+10x+8>0 \\ \\ x_{1}= \frac{-10-2}{6}= -2 \\ \\ x_{2}= \frac{-10+2}{6}= \frac{4}{3}}\)

Robiąc ponownie x1 i x2 zauwazylem ze na dole nie ma byc minusa takze wyszly mi takie wyniki.
a = -3 , b= 10, a pierw z delty = 2
Malejąca i rosnącach + przedziały zapamietam, i poprawie jak bedzie rozwiklane x1 i x2.


\(\displaystyle{ f"(x)= -6x+10 \ge 0 \\-6x+10 \ge 0 /:(-6) \\ \\ x \le \frac{10}{6} = \frac{5}{3}}\)

\(\displaystyle{ f}\) wypukłe w przedziale \(\displaystyle{ \left( \infty , \frac{5}{3} \right)}\)

\(\displaystyle{ f}\) wklesłe w przedziale \(\displaystyle{ \left( \frac{5}{3} , - \infty \right)}\)

punkt przegięcia: \(\displaystyle{ \frac{5}{3}}\)

ZAD 4
\(\displaystyle{ \int \limits_{x_1}^{x_2} x- \left(x^2-2 \right) \mbox dx, \quad x_1<x_2}\)

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{2} \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+2x \right|_{-1}^2 = 2- \frac{8}{3}+4 - \left( \frac{1}{2} - \frac{-1}{3} + (-2) \right) = 1 \frac{6}{6} - \frac{16}{6} +3 \frac{6}{6} - \frac{3}{6} - \frac{2}{6} +1 \frac{6}{6} = -\frac{4}{6} + \frac{24}{6} + \frac{17}{6} = \frac{37}{6} = 6 \frac{1}{6}}\)

Tutaj rowniez mam inny wynik niż Ty.
Ostatnio zmieniony 4 lip 2011, o 15:22 przez franklin, łącznie zmieniany 2 razy.

miodzio1988

Zbadać ciągłość funkcji, asymptoty funkcji, pole obszaru

Post autor: miodzio1988 » 4 lip 2011, o 15:16

\(\displaystyle{ f(x) = - \infty}\)
W zad 2. Kolejny bzdurny napis. Co niby oznacza?
\(\displaystyle{ -3x^2+10x+8>0}\)
A to niby po co?

franklin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 26 cze 2011, o 11:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 5 razy

Zbadać ciągłość funkcji, asymptoty funkcji, pole obszaru

Post autor: franklin » 4 lip 2011, o 15:23

W zadaniu 2 to byl błąd przy zapisie w letexie - juz poprawilem.



\(\displaystyle{ -3x^2+10x+8>0}\)

Zapisałem to w ten sposób bo tak wczesniej zostałem poinformowany, czyli wystarczy przyrównać do 0?

-- 4 lip 2011, o 18:25 --

Powiedzcie mi jeszce jak dokladnie wyglada wzor do zadania 4 z całkami.

Dla np
\(\displaystyle{ y= -|x| , y=x^2-2 \\ -|x| = x^2-2 \\ x^2+|x| -2 = 0 \\ \sqrt{ \wedge } = 3 \\ \\ x_{1} = \frac{-1-3}{2}= -2 \\ x_{2} = \frac{-1+3}{2} = 1}\)

Całka bedize wygladac:

\(\displaystyle{ \int_{-2}^{1} -|x| -x^2-2dx}\)

???-- 7 lip 2011, o 12:52 --Zdalem kur**
4.5 wpadlo, wkoncu.
Wielkie podziekowania dla: pyzol i Dasio11.
Pisze dopiero teraz bo sie resetowalem i wkoncu moge sie pochwalic

ODPOWIEDZ