Problem z prostą całką (Krysicki, Włodarski)

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
mkacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 4 lis 2010, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska :)
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3 razy

Problem z prostą całką (Krysicki, Włodarski)

Post autor: mkacz » 3 lip 2011, o 11:25

Witam.

Licząc tą całkę \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x \sqrt{1- ln^{2}|x| }}}\) zadziałałem w ten sposób
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x \sqrt{1- ln^{2}|x| }} = \int \frac{dx}{x \sqrt{(1- ln|x|)(1+ln|x| )}}}\). Wiem, że można ją rozbroić przez podstawienie \(\displaystyle{ ln|x|=t}\) i wyjdzie arcus, ale ja chcę to zrobić innym sposobem. Mianowicie, w tym momencie \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x \sqrt{(1- ln|x|)(1+ln|x| )}}}\) robię podstawienie \(\displaystyle{ t=ln|x|+1}\) i po odpowiednich przekształceniach dochodzę do całki postaci
\(\displaystyle{ \int \frac{dt}{\sqrt{(2-t)t}}}\). Potem stosuję III postawienie Eulera \(\displaystyle{ \sqrt{(2-t)t}=ut}\), wyznaczam sobie potrzebne rzeczy, czyli \(\displaystyle{ t= \frac{2}{ u^{2}+1}, dt = \frac{-4u}{{(u^{2}+1)}^2}, u = \sqrt{ \frac{2-t}{t}}}\), wstawiam do całki i dostaję wynik \(\displaystyle{ -2arctg \sqrt{ \frac{1-ln|x|}{1+ln|x|}}}\). Wiem - utrudniam sobie życie, ale... chcę poćwiczyć.

Po obliczeniu pochodnej tej funkcji mam \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{-1}{2x \sqrt{1- ln^{2}|x| }}}\), czyli pojawił mi się czynnik \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\). Czy to wynik błędnego obliczenia całki czy pochodnej? A może wszystko jest OK?

Z góry dziękuję za pomoc
Ostatnio zmieniony 3 lip 2011, o 12:17 przez mkacz, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
Spektralny
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3964
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 926 razy

Problem z prostą całką (Krysicki, Włodarski)

Post autor: Spektralny » 3 lip 2011, o 12:10

\(\displaystyle{ 1-\ln^2|x|=(1-\ln|x|)(1+\ln|x|)}\)

czeski błąd : )

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

Problem z prostą całką (Krysicki, Włodarski)

Post autor: Funktor » 3 lip 2011, o 12:12

Wyznaczyłem pochodną i wyszło mi tyle ile powinno być, więc masz źle pochodną ;] ( przy założeniu że ja mam dobrze ) zaraz wrzucę rachunki-- 3 lip 2011, o 12:13 --Ale funkcja pierwotna jest dobrze więc, chyba tylko źle napisał ;]

mkacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 4 lis 2010, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska :)
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3 razy

Problem z prostą całką (Krysicki, Włodarski)

Post autor: mkacz » 3 lip 2011, o 12:14

Spektralny pisze:\(\displaystyle{ 1-\ln^2|x|=(1-\ln|x|)(1+\ln|x|)}\)

czeski błąd : )
Heh - ale ten błąd zrobiłem tylko tu na forum - zamiast + wcisnąłem - .

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

Problem z prostą całką (Krysicki, Włodarski)

Post autor: Funktor » 3 lip 2011, o 12:26

nie będę jednak wrzucał rachunków bo coś mi się pierdzieli w zapisie.. jednak zrobiłeś dobrze ;]

mkacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 4 lis 2010, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska :)
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3 razy

Problem z prostą całką (Krysicki, Włodarski)

Post autor: mkacz » 3 lip 2011, o 12:32

Funktor pisze:nie będę jednak wrzucał rachunków bo coś mi się pierdzieli w zapisie.. jednak zrobiłeś dobrze ;]
Ja przejrzałem moje rachunki i wyłapałem błąd - obliczając pochodną wziąłem arctg zamiast -2arctg... A to wszystko tłumaczy.

ODPOWIEDZ