Granica ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Mikz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 22 paź 2010, o 21:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Granica ciągu

Post autor: Mikz » 2 lip 2011, o 19:37

Ja miałem dzisiaj takie urocze zadanko na egzaminie (poprawka się szykuje xD), proszę o jakieś rady:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2\cdot3^{n}+2^{n}\cdot\cos^{2}(n)}}\)

Wiem, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2\cdot3^{n}} = 3\cdot\sqrt[n]{2} = 3}\) ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2} = 1}\) ale nie mam pojęcia co zrobić z tym iloczynem z cosinusem.

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Granica ciągu

Post autor: Chromosom » 2 lip 2011, o 19:43

można zastosować twierdzenie o trzech ciągach, albo wyłączyć \(\displaystyle{ 3^n}\) przed pierwiastek

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Granica ciągu

Post autor: » 2 lip 2011, o 19:45

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{3^{n}} \le \sqrt[n]{2\cdot3^{n}+2^{n}\cdot\cos^{2}{n}}\le \sqrt[n]{2\cdot3^{n}+3^{n}\cdot 1}=\sqrt[n]{3\cdot3^{n}}}\)

Mikz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 22 paź 2010, o 21:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Granica ciągu

Post autor: Mikz » 2 lip 2011, o 19:51

No tak, w związku z tym że \(\displaystyle{ \cos^{2}(n) \in [0,1]}\) faktycznie sprawa się upraszcza... Dzięki za pomoc. Skąd wziąć takie zadanka żeby się w tym trochę wyrobić przed poprawką?
Ostatnio zmieniony 2 lip 2011, o 19:55 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: symbol cosinusa to \cos, symbol przedziału domkniętego to [, ]

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Granica ciągu

Post autor: Chromosom » 2 lip 2011, o 19:56

Mikz pisze:Skąd wziąć takie zadanka żeby się w tym trochę wyrobić przed poprawką?
sporo przykładów znajdziesz na tym forum. Możesz też posłużyć się podręcznikami, z których korzystacie na studiach, i zamieścić zadanie z którym będziesz miał problem.

Mikz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 22 paź 2010, o 21:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Granica ciągu

Post autor: Mikz » 3 lip 2011, o 11:33

Napisałeś jeszcze że można wyłączyć \(\displaystyle{ 3^{n}}\) przed pierwiastek. Jak to zrobić skoro w jednym iloczynie jest \(\displaystyle{ 2^{n}}\) a w drugim \(\displaystyle{ 3^{n}}\)? Wiadomo po wyłączeniu tej części iloczynów ciąg dążyłby po prostu do trójki bo pierwiastek by się zerował z tym, że na pierwszy rzut oka wydaje mi się to niemożliwe.

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Granica ciągu

Post autor: miki999 » 3 lip 2011, o 11:42

Drugi element pod pierwiastkiem dążyłby do \(\displaystyle{ 0}\), natomiast pierwszy do \(\displaystyle{ 2}\). Pierwiastek stopnia \(\displaystyle{ n}\) ze stałej w granicy wynosi \(\displaystyle{ 1}\), więc masz wynik \(\displaystyle{ 3 \cdot 1}\).

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9322
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2040 razy

Granica ciągu

Post autor: Dasio11 » 3 lip 2011, o 12:44

No ale tu nie mamy pierwiastek \(\displaystyle{ n-}\)tego stopnia ze stałej: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a},}\) tylko \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n},}\) gdzie \(\displaystyle{ a_n \to 2.}\) Dlatego do granicy

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2 + \left( \frac{2}{3} \right)^n \cos^2 n }}\)

należałoby albo i tak zastosować twierdzenie o trzech ciągach, albo zrobić tak:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2+ \left( \frac{2}{3} \right)^n \cos^2 n} = \left[ 2^0 \right] = 1,}\)

co wymagałoby znajomości twierdzenia, że gdy \(\displaystyle{ a_n \to a, \ b_n \to b,}\) to \(\displaystyle{ a_n^{b_n} \to a^b.}\)

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Granica ciągu

Post autor: miki999 » 3 lip 2011, o 12:53

Jak się wymaga ścisłości to tak.

Mikz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 22 paź 2010, o 21:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Granica ciągu

Post autor: Mikz » 4 lip 2011, o 09:18

Dzięki wszystkim za pomoc .

ODPOWIEDZ