Granica ciągu

[Mikz]

Ja miałem dzisiaj takie urocze zadanko na egzaminie (poprawka się szykuje xD), proszę o jakieś rady:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2\cdot3^{n}+2^{n}\cdot\cos^{2}(n)}}\)

Wiem, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2\cdot3^{n}} = 3\cdot\sqrt[n]{2} = 3}\) ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2} = 1}\) ale nie mam pojęcia co zrobić z tym iloczynem z cosinusem.

[Chromosom]

można zastosować twierdzenie o trzech ciągach, albo wyłączyć \(\displaystyle{ 3^n}\) przed pierwiastek

[Qń]

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{3^{n}} \le \sqrt[n]{2\cdot3^{n}+2^{n}\cdot\cos^{2}{n}}\le \sqrt[n]{2\cdot3^{n}+3^{n}\cdot 1}=\sqrt[n]{3\cdot3^{n}}}\)

[Mikz]

No tak, w związku z tym że \(\displaystyle{ \cos^{2}(n) \in [0,1]}\) faktycznie sprawa się upraszcza... Dzięki za pomoc. Skąd wziąć takie zadanka żeby się w tym trochę wyrobić przed poprawką?

[Chromosom]

Skąd wziąć takie zadanka żeby się w tym trochę wyrobić przed poprawką?

sporo przykładów znajdziesz na tym forum. Możesz też posłużyć się podręcznikami, z których korzystacie na studiach, i zamieścić zadanie z którym będziesz miał problem.

[Mikz]

Napisałeś jeszcze że można wyłączyć \(\displaystyle{ 3^{n}}\) przed pierwiastek. Jak to zrobić skoro w jednym iloczynie jest \(\displaystyle{ 2^{n}}\) a w drugim \(\displaystyle{ 3^{n}}\)? Wiadomo po wyłączeniu tej części iloczynów ciąg dążyłby po prostu do trójki bo pierwiastek by się zerował z tym, że na pierwszy rzut oka wydaje mi się to niemożliwe.

[miki999]

Drugi element pod pierwiastkiem dążyłby do \(\displaystyle{ 0}\), natomiast pierwszy do \(\displaystyle{ 2}\). Pierwiastek stopnia \(\displaystyle{ n}\) ze stałej w granicy wynosi \(\displaystyle{ 1}\), więc masz wynik \(\displaystyle{ 3 \cdot 1}\).

[Dasio11]

No ale tu nie mamy pierwiastek \(\displaystyle{ n-}\)tego stopnia ze stałej: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a},}\) tylko \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n},}\) gdzie \(\displaystyle{ a_n \to 2.}\) Dlatego do granicy

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2 + \left( \frac{2}{3} \right)^n \cos^2 n }}\)

należałoby albo i tak zastosować twierdzenie o trzech ciągach, albo zrobić tak:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2+ \left( \frac{2}{3} \right)^n \cos^2 n} = \left[ 2^0 \right] = 1,}\)

co wymagałoby znajomości twierdzenia, że gdy \(\displaystyle{ a_n \to a, \ b_n \to b,}\) to \(\displaystyle{ a_n^{b_n} \to a^b.}\)

[miki999]

Jak się wymaga ścisłości to tak.

[Mikz]

Dzięki wszystkim za pomoc .