Dowód podzielności

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
Awatar użytkownika
kenser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 27 lis 2010, o 22:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

Dowód podzielności

Post autor: kenser » 2 lip 2011, o 19:07

Hej!

Proszę o pomoc w zadaniu i jego wyjaśnienie:

Mam udowodnić (korzystając z zasady indukcji matematycznej), że \(\displaystyle{ 6^{n+2} + 7^{2n+1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 43}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 0}\).


Z góry dzięki

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18779
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3735 razy

Dowód podzielności

Post autor: szw1710 » 2 lip 2011, o 19:13

To prosta rzecz. Spróbuj jakoś zamieszać z wykładnikami w dowodzie tezy indukcyjnej tak, aby wyodrębnić 43.

Awatar użytkownika
kenser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 27 lis 2010, o 22:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

Dowód podzielności

Post autor: kenser » 2 lip 2011, o 20:24

\(\displaystyle{ 6^{n+2} + 7^{2n+1} = 43x}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in N_+}\)

Sprawdzam dla \(\displaystyle{ n=0}\):
\(\displaystyle{ L = 6^2 + 7 = 36 + 7 = 43}\)
\(\displaystyle{ P = 43 \cdot 1 = 43}\)
\(\displaystyle{ L = P}\)

Założenie ind. \(\displaystyle{ n=k}\):
\(\displaystyle{ 6^{k+2} + 7^{2k+1} = 43x}\)

Teza ind. \(\displaystyle{ n = k+1}\):
\(\displaystyle{ 6^{k+3} + 7^{2k+3} = 43x}\)

Dowód
\(\displaystyle{ L = 6^{k+3} + 7^{2k+3} =}\)

Tak może być? Proszę o pomoc w dokończeniu zadania...

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23177
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3160 razy

Dowód podzielności

Post autor: piasek101 » 2 lip 2011, o 20:39

I z założenia (wstaw do ostatniego) \(\displaystyle{ 6^{k+2}=43x-7^{2k+1}}\)

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Dowód podzielności

Post autor: ares41 » 3 lip 2011, o 09:38

Chyba prościej skorzystać z tego:
\(\displaystyle{ 6^{k+3} + 7^{2k+3}=6(6^{k+2} + 7^{2k+1})+43 \cdot 7^{2k+1}}\)

ODPOWIEDZ