Pierwiastek stopnia n z liczby urojonej do potęgi n

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
bienieck
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 108
Rejestracja: 7 maja 2010, o 17:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy

Pierwiastek stopnia n z liczby urojonej do potęgi n

Post autor: bienieck » 2 lip 2011, o 19:01

Próbuję znaleźć informację na temat ile wynosi.
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{( \pm i) ^{n} }}\)
I teraz nie wiem czy zawsze w wyniku jest moduł czy może tylko czasami?

Jak się liczy ogólnie \(\displaystyle{ \sqrt[n]{(z) ^{n} }}\)?

Proszę o jakąkolwiek pomoc.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Pierwiastek stopnia n z liczby urojonej do potęgi n

Post autor: Lorek » 2 lip 2011, o 19:50

I teraz nie wiem czy zawsze w wyniku jest moduł czy może tylko czasami?
To nie liczby rzeczywiste
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z^n}=z\cdot \sqrt[n]{1},\ \ (\sqrt[n]{z})^n=z}\)
(chyba tak).

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pierwiastek stopnia n z liczby urojonej do potęgi n

Post autor: miki999 » 3 lip 2011, o 12:47

Ale liczby rzeczywiste w szczególności są podzbiorem l. zespolonych, więc coś chyba nie tak np. dla \(\displaystyle{ z=-2,\ n=2}\)

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Pierwiastek stopnia n z liczby urojonej do potęgi n

Post autor: Rogal » 3 lip 2011, o 13:21

Co jest takiego nie tak? :)

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pierwiastek stopnia n z liczby urojonej do potęgi n

Post autor: miki999 » 3 lip 2011, o 13:25

No: \(\displaystyle{ \sqrt{(-2)^2} \neq -2}\)

Awatar użytkownika
Zordon
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 909 razy

Pierwiastek stopnia n z liczby urojonej do potęgi n

Post autor: Zordon » 3 lip 2011, o 13:31

Pierwiastek n-tego stopnia w zbiorze liczb zespolonych jest (w moim uznaniu) multifunkcją, która dla różnych od zera argumentów ma n różnych wartości. W szczególności:
\(\displaystyle{ \sqrt{(-2)^2} =\sqrt{4}=2\sqrt{1}=\{2,-2\}}\), bo są dwa pierwiastki kwadratowe z jedności.

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pierwiastek stopnia n z liczby urojonej do potęgi n

Post autor: miki999 » 3 lip 2011, o 13:35

No właśnie.

To już w jakimś temacie było kiedyś wałkowane chyba, nie?

ODPOWIEDZ