funkcja potęgowa - rozwiązania

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
ilovebcn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 2 lip 2011, o 18:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wr

funkcja potęgowa - rozwiązania

Post autor: ilovebcn » 2 lip 2011, o 18:25

Hey wszystkim,
mam za zadnie wyznaczyć niepewności dopasowania potęgowego linii trendu na wykresie, równanie funkcji to : \(\displaystyle{ y = ax^{-b}}\). Pochodną równania wyznaczając zarówno po \(\displaystyle{ x}\) i po \(\displaystyle{ y}\). Pochodna po \(\displaystyle{ x}\) jest prosta do wyznaczenia, nie wiem jak z tego równania wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\)?

Pomóżcie
Ostatnio zmieniony 2 lip 2011, o 20:00 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: symbol mnożenia to \cdot, usunięcie niepotrzebnych znaków zapytania

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23175
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3159 razy

funkcja potęgowa - rozwiązania

Post autor: piasek101 » 2 lip 2011, o 20:52

Na początek

\(\displaystyle{ y=\frac{a}{x^b}}\)

ilovebcn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 2 lip 2011, o 18:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wr

funkcja potęgowa - rozwiązania

Post autor: ilovebcn » 2 lip 2011, o 21:01

próbowałam logarytmować i mnóstwo innych sposób, ale chyba można to zrobić prościej:

\(\displaystyle{ x= \frac{ \sqrt[b]{y} }{a ^{ \frac{1}{b} } }}\)

czy tak jest poprawnie? I pochodna z \(\displaystyle{ \sqrt[b]{y}}\) ? jak wyznaczyć pochodną n-stopnia?

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

funkcja potęgowa - rozwiązania

Post autor: Majeskas » 14 lip 2011, o 01:51

To jest prawie dobrze. tak jest poprawnie: \(\displaystyle{ x= \frac{a^{ \frac{1}{b}} }{ \sqrt[b]{y} }}\). Żeby sprawdzić poprawność przekształceń zawsze możesz wstawić wynik do początkowego równania i sprawdzić, czy wychodzi tożsamość.
I pochodna z \(\displaystyle{ \sqrt[b]{y}}\) ? jak wyznaczyć pochodną n-stopnia?


Jeśli \(\displaystyle{ y}\) jest zmienną, a \(\displaystyle{ b}\) stałą to mamy do czynienia z różniczkowaniem funkcji potęgowej.

Weźmy dowolną funkcję potęgową, czyli postaci: \(\displaystyle{ y^{ \alpha }}\), gdzie \(\displaystyle{ y>0}\) i \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\) (dla \(\displaystyle{ y \le 0}\) nie dla każdej \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\) wyrażenie ma sens)

Ogólny wzór na różniczkowanie funkcji potęgowej jest taki:

\(\displaystyle{ \left( y^{ \alpha }\right)^{\prime}= \alpha y^{ \alpha -1}}\)

Pochodna \(\displaystyle{ n}\)-tego rzędu to po prostu \(\displaystyle{ n}\)-krotne zróżniczkowanie funkcji.

Spójrzmy więc, co się dzieje przy \(\displaystyle{ n}\)-krotnym różniczkowaniu funkcji potęgowej:

\(\displaystyle{ \left( y^{ \alpha }\right)^{\prime}= \alpha y^{ \alpha -1}}\)

\(\displaystyle{ \left( y^{ \alpha }\right)^{\prime \prime}=\left( \alpha y^{ \alpha -1}\right)^{\prime}= \alpha \left( \alpha -1\right)y^{ \alpha -2}}\)

\(\displaystyle{ \left( y^{ \alpha }\right)^{\prime \prime \prime}=\left(\alpha \left( \alpha -1\right)y^{ \alpha -2} \right)^{\prime}=\alpha \left( \alpha -1\right)\left( \alpha -2\right) y^{ \alpha -3}}\)
\(\displaystyle{ \vdots}\)
\(\displaystyle{ \vdots}\)
\(\displaystyle{ \left( y^{ \alpha }\right)^{\left( n\right) }=\prod_{k=0}^{n-1} \left( \alpha -\left( k-1\right) \right) y ^{ \alpha -n}}\)

Dla \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{N}}\) można zapisać:

\(\displaystyle{ \left( y^{ \alpha }\right)^{\left( n\right) }= \frac{ \alpha !}{\left( \alpha -n\right)! } y ^{ \alpha -n}}\)

ODPOWIEDZ