granica ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
K.Inc.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 191
Rejestracja: 3 mar 2007, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PT
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 13 razy

granica ciągu

Post autor: K.Inc. » 2 lip 2011, o 15:34

U Krysickiego, jak i w przykładach do tej grupy tematycznej forum przyjmujemy, że \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{n} = 1}\)
Czy mogę poprosić o jakiś dowód, bo wydaje mi się, że to nie spadło z nieba, ani nie jest to aksjomat, a sam nie do końca widzę jak to okazać.

Z góry dziękuję,
pozdrawiam.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

granica ciągu

Post autor: Lorek » 2 lip 2011, o 15:42

"granica ciągu - zadanie 666" - nice ;]

256594.htm#p967707

a i post wyżej to nawet więcej jest dowodów.
Ostatnio zmieniony 2 lip 2011, o 15:45 przez Lorek, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Spektralny
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3964
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 926 razy

granica ciągu

Post autor: Spektralny » 2 lip 2011, o 15:43

Można subtelniej, ja strzelę z armaty:

\(\displaystyle{ n^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\ln n}}\)

Myśląc o funkcji

\(\displaystyle{ f(x)=e^{\frac{1}{x}\ln x}}\)

jako o funkcji rzeczywistej i stosując regułę d'Hospitala do wykłdnika (możemy to zrobić, bo funkcja wykładnicza jest ciągła), mamy

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} f(x)=\lim_{x\to \infty}e^{\frac{1}{x}\ln x}=\lim_{x\to \infty}e^{\frac{\frac{1}{x}}{1}}=e^0=1}\).

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

granica ciągu

Post autor: Funktor » 2 lip 2011, o 16:29

można też z definicji, ale to już jest niełatwe.

ODPOWIEDZ