badanie liniowej zależności podanych funkcji, wrońskian

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
natimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 22 paź 2010, o 00:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: za biurkiem
Podziękował: 3 razy

badanie liniowej zależności podanych funkcji, wrońskian

Post autor: natimat » 2 lip 2011, o 14:30

Witam,

właśnie zajmuje się badaniem liniowej zależności różnych funkcji i trafiłem na kamień.

Mam podaną funkcję \(\displaystyle{ y_{k}(x)= e^{- k^{2}x } , k=1,2,,...,n ; n \in N}\)

Mam zbadać czy istnieje jakaś liniowa zależność między tymi funkcjami.
Jedno rozwiązanie przychodzi mi od razu do głowy: mianowicie można wykazać, że każdą z funkcji \(\displaystyle{ y_{k}}\) można opisać (uzalenić) od funkcji \(\displaystyle{ y_{1}}\) co by było jednoznaczne z liniową zależnością wszystkich funkcji opisanych powyższym wzorem, ale ten dowód chyba nie należy do najlepszych, o ile w ogóle jest prawdziwy...

Próbuje udowodnić powyższą zależność za pomocą wrońskianu (wyznacznika Wrońskiego) i lipa.

\(\displaystyle{ F(f_1, f_2, \ldots, f_n) = W(x) = \begin{bmatrix} f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\ f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)} \end{bmatrix}}\)

Po rozpisaniu tej funkcji wyznacznik wygląda następująco:

\(\displaystyle{ W(x) = \begin{bmatrix} e^{-x} & e^{-4x} & \cdots & e^{- n^{2} x} \\ -e^{-x} & -4e^{-4x} & \cdots & -n^{2} e^{- n^{2} x} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (-1)^{n-1} e^{-x}} & (-4)^{n-1} e^{-4x} & \cdots & (-n ^{2}) ^{n-1} e^{- n^{2} x} \end{bmatrix}}\)

Wiadomo, że kiedy \(\displaystyle{ W(x)=0}\) to te funkcje (określone wzorem \(\displaystyle{ y_{k}(x)= e^{- k^{2}x } , k=1,2,,...,n ; n \in N}\)) są liniowe zależne.

Ma ktoś pomysł jak udowodnić, że ten wyznacznik jest/nie jest identyczny zeru? Żaden z wersów ani kolumn macierzy nie jest taki sam więc sprawa się trochę komplikuje...

Serdeczne dzięki za pomoc
pozdrawiam wszystkich Matematyków
szczególnie tych amatorów-niedołęg

Awatar użytkownika
Spektralny
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3964
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 926 razy

badanie liniowej zależności podanych funkcji, wrońskian

Post autor: Spektralny » 2 lip 2011, o 14:41

Najłatwiej pokazać, że wiersze \(\displaystyle{ W(x)}\) są liniowo niezależne (jako wektory \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ x}\)).

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

badanie liniowej zależności podanych funkcji, wrońskian

Post autor: pyzol » 2 lip 2011, o 14:48

Ja bym skorzystał z przejścia do granic.
Tzn, zakładając, że są one zależne mamy:
\(\displaystyle{ c_n e^{-n^2 x}= c_1 e^{-x}+c_2 e^{-4x}+...+c_{n-1} e^{-(n-1)^2 x}}\)
Dzieląc \(\displaystyle{ e^{-n^2 x}}\) i przechodząc z \(\displaystyle{ x}\) do odpowiedniej granicy, otrzymamy, że \(\displaystyle{ c_n=0}\). To taki szkic. Trzeba by jeszcze pokazać, że takie coś zachodzi dla dowolnego zestawu...

natimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 22 paź 2010, o 00:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: za biurkiem
Podziękował: 3 razy

badanie liniowej zależności podanych funkcji, wrońskian

Post autor: natimat » 2 lip 2011, o 14:51

Za pomącą równania niezależności wektorów \(\displaystyle{ a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \dots + a_n \mathbf v_n = \mathbf 0,}\) udowadniając, że istnieją tylko trywialne rozwiązania?
Hmm dalej nie wiadomo bezpośrednio czy W(x) jest tożsame równe z zerem, czy nie, albo jestem ślepy.

To drugie bardzo prawdopodobne -- 2 lip 2011, o 14:53 --Dzięki pyzol, muszę to przeanalizować, ale wygląda skutecznie xD

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

badanie liniowej zależności podanych funkcji, wrońskian

Post autor: pyzol » 2 lip 2011, o 14:55

To trochę z błędami napisałem, ale zakładając, że jakiś dowolny układ tych funkcji jest zależny, możemy przy przejściach do granic wykazać sprzeczność.

natimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 22 paź 2010, o 00:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: za biurkiem
Podziękował: 3 razy

badanie liniowej zależności podanych funkcji, wrońskian

Post autor: natimat » 2 lip 2011, o 14:59

Zdaje się, że tak. Z tym wrońskim też nie wygląda źle, tylko licho wie jak to ugrźć. Pokombinuje z jakimś dowolnym układem tych funkcji i zobaczymy co sie z tego urodzi.

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

badanie liniowej zależności podanych funkcji, wrońskian

Post autor: pyzol » 2 lip 2011, o 15:07

To by szło jakoś tak. Załóżmy, że układ \(\displaystyle{ e^{-t_k^2x},t_i \neq t_j \text{ dla }i \neq j,t_k\in N}\) jest liniowo zależny. Niech \(\displaystyle{ t_m}\) będzie taką liczbą, że \(\displaystyle{ t_m=\max(t_1,...,t_n)}\). Skoro ten układ jest liniowo zależny, to:
\(\displaystyle{ e^{-t_m ^2 x}=\sum_{i\neq m} c_i e^{-t_i ^2 x}}\)
Teraz dzielimy i przechodzimy do granicy w \(\displaystyle{ \pm \infty}\). Otrzymamy sprzeczność, bo z lewej strony mamy 1 a z drugiej 0 lub nieskończoność, (to zależy od granicy). W każdym bądź razie istnieją takie argumenty, że prawa strona różni się od lewej. To oczywiście też trzeba doszlifować. Ale jakoś tak by to szło.

natimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 22 paź 2010, o 00:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: za biurkiem
Podziękował: 3 razy

badanie liniowej zależności podanych funkcji, wrońskian

Post autor: natimat » 5 lip 2011, o 18:24

Witaj pyzol,

dużo łatwiej jest mi udowodnić, że wiersze wronskianu są szeregiem rosnącym potęgowo, dla którego wyrazów nie istnieje taki współczynnik \(\displaystyle{ C_{i}}\) , żeby \(\displaystyle{ C_{i} \neq 0}\) no i wtedy wiadomo z zależnosci w macierzach, że tym samym kolumny są liniowo rozbieżne, co oznacza że nie istnieje taki współczynnik \(\displaystyle{ C}\) dla którego która/którykolwiek z kolumn \(\displaystyle{ n}\) i wierszy \(\displaystyle{ m}\) byłaby sobie równa, co jest równoznaczne z tym, że wyznacznik nie jest zerem. Tak mniej więcej.

Próbowałem rozwiąć to Twoim sposobem, ale nie do końca rozumiem dodatkowe założenie \(\displaystyle{ t_i \neq t_j \text{ dla }i \neq j}\). Faktycznie po podzieleniu i przejściu do granic wychodzi sprzeczność, po lewej 1, po prawej ?nieskończoność?, w każdym razie na pewno nie jeden.
Obawiam się, że moje rachunki nie są poprawne, mógłbyś w miarę moźliwości pokazać jak prawidłowo przejść do granic i otrzymać wynik \(\displaystyle{ 1 \neq 0}\)?

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

badanie liniowej zależności podanych funkcji, wrońskian

Post autor: pyzol » 5 lip 2011, o 18:53

Te założenie tyczy się tylko, tego, żebyśmy nie wzięli dwa razy tej samej funkcji. W końcu funkcje:
\(\displaystyle{ e^{-x},2e^{-x}}\) są liniowo zależne. A rachunki masz pewnie poprawne. Jeśli chcesz otrzymać 0 to pewnie będziesz musiał policzyć w tej drugiej nieskończoności
Ale to nie ma znaczenia, jeśli wychodzi Ci nieskończoność to zapewne istnieje argument dla którego funkcja z prawej strony jest większa od 1. Jak dla mnie to już wystarczy.

natimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 22 paź 2010, o 00:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: za biurkiem
Podziękował: 3 razy

badanie liniowej zależności podanych funkcji, wrońskian

Post autor: natimat » 5 lip 2011, o 19:25

aha, ok.

Okazyuje się to jeszcze prostsze

Popatrz:

\(\displaystyle{ \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}}\) parami różne \(\displaystyle{ \Rightarrow f _{1} =e ^{\lambda _{1}x },..., f _{n} =e ^{\lambda _{n}x }}\) są liniowo niezależne.

I tyle xD
porównać funkcje z tą def i ciao

pozdr -- 5 lip 2011, o 19:26 --no ale nie lubimy przecież iść na łatwiznę

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

badanie liniowej zależności podanych funkcji, wrońskian

Post autor: pyzol » 5 lip 2011, o 19:29

Znasz te powiedzenie o pójściu na łatwiznę?

natimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 22 paź 2010, o 00:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: za biurkiem
Podziękował: 3 razy

badanie liniowej zależności podanych funkcji, wrońskian

Post autor: natimat » 5 lip 2011, o 19:59

chyba mnie nikt nie wtajemniczył
?

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

badanie liniowej zależności podanych funkcji, wrońskian

Post autor: pyzol » 5 lip 2011, o 20:13

Wtajemniczyłbym Cię, ale to by było pójście na łatwiznę. A znasz te powiedzenie.
Dobra koniec off-topic

ODPOWIEDZ