łukowa spójność

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Marien
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 166
Rejestracja: 25 mar 2011, o 19:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 1 raz

łukowa spójność

Post autor: Marien » 2 lip 2011, o 14:30

Mam problem z następującym zadaniem: Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ (X,d)}\), \(\displaystyle{ (Y,d')}\) przestrzenie metryczne, \(\displaystyle{ (X,d)}\) łukowo spójna oraz \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest ciągłą surjekcją, to \(\displaystyle{ (Y,d')}\) też jest łukowo spójna.

Awatar użytkownika
Spektralny
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3964
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 926 razy

łukowa spójność

Post autor: Spektralny » 3 lip 2011, o 15:51

Weźmy dwa punkty \(\displaystyle{ a,b\in Y}\). Oczywiście, \(\displaystyle{ a=f(x), b=f(y)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x,y\in X}\). Niech \(\displaystyle{ \ell}\) będzie łukiem łączącym punkty \(\displaystyle{ x,y}\). Zbiór \(\displaystyle{ \ell}\) jest zwarty i spójny. Obraz ciągłu zbioru zwartego jest zwarty, obraz ciągły zbioru spójnego jest spójny (własność Darboux), skąd \(\displaystyle{ f[\ell]}\) jest łukiem łączącym \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

ODPOWIEDZ