przestrzeń Hausdorffa

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Marien
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 166
Rejestracja: 25 mar 2011, o 19:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 1 raz

przestrzeń Hausdorffa

Post autor: Marien » 2 lip 2011, o 09:32

Nie wiem jak udowodnić następujące twierdzenie: Każda przestrzeń metryczna spełnia aksjomat \(\displaystyle{ T _{2}}\).

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

przestrzeń Hausdorffa

Post autor: pyzol » 2 lip 2011, o 12:25

Z definicji metryki mamy, że \(\displaystyle{ d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y}\).
Więc dla dowolnych dwóch różnych od siebie punktów odległość musi być dodatnia. Załóżmy że wynosi ona \(\displaystyle{ \varepsilon_1}\). Bierzemy teraz kulę otwartą \(\displaystyle{ K}\) o promieniu \(\displaystyle{ \frac{\varepsilon}{2}}\) i środku w \(\displaystyle{ x}\). \(\displaystyle{ y\notin \overline{K}}\). A skoro nie należy do domknięcia, to istnieje jakiś \(\displaystyle{ \varepsilon_2}\)...

Marien
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 166
Rejestracja: 25 mar 2011, o 19:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 1 raz

przestrzeń Hausdorffa

Post autor: Marien » 2 lip 2011, o 13:09

Dziękuję.

ODPOWIEDZ