Trójkąt rozwartokątny i spodki wysokości.

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Trójkąt rozwartokątny i spodki wysokości.

Post autor: dawid.barracuda » 2 lip 2011, o 09:22

Witam. Mam takie zadanie:
W trójkącie rozwartokątnym największy bok równa się 16cm, a spodki wysokości poprowadzonych z obydwu jego końców na pozostałe boki są oddalone od wierzchołka kąta rozwartego o 2cm i 3cm. Obliczyć pozostałe boki trójkąta.
Otóż problem mam już przy samym rysunku. Jak to powinno wyglądać? Mianowicie nie rozumiem części: "poprowadzonych z obydwu jego końców". Proszę o poglądowy rysunek i ew. wskazówki do rozwiązania zadania i pozdrawiam!
Dla informacji nazwa zbioru: "Zbiór zadań maturalnych i egzaminacyjnych. Część druga. Geometria i trygonometria. 1962r."

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Trójkąt rozwartokątny i spodki wysokości.

Post autor: Justka » 2 lip 2011, o 11:00

Narysuj trójkąt ABC gdzie kąt C jest rozwarty, a odcinek |AB|=16cm. Teraz poprowadź wysokości z wierzchołków A i B odpowiednio na boki BC i AC. I oznacz ich spodki jako K ( na prostej BC ) i L (na prostej AC), wtedy |CK|=2cm oraz |CL|=3cm i rysunek gotowy
Nad samym zadaniem jeszcze się nie zastanawiałam ale myślę, że warto poszukać trójkątów podobnych
hint:    

Awatar użytkownika
aniu_ta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 667
Rejestracja: 27 gru 2010, o 18:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pomorskie
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 92 razy

Trójkąt rozwartokątny i spodki wysokości.

Post autor: aniu_ta » 2 lip 2011, o 11:10

powinno to wyglądać tak:



Są inne oznaczenia niż u Justki, bo rysunek skopiowałam z internetu.

Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Trójkąt rozwartokątny i spodki wysokości.

Post autor: dawid.barracuda » 2 lip 2011, o 11:17

Dzięki ogromne za rysunek Czy dobrze rozumiem, że spodki wysokości to te punkty, przy których są zaznaczone kąty proste na rysunku, który dała aniu_ta?

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Trójkąt rozwartokątny i spodki wysokości.

Post autor: Justka » 2 lip 2011, o 11:22

Tak.

Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Trójkąt rozwartokątny i spodki wysokości.

Post autor: dawid.barracuda » 2 lip 2011, o 12:59

Jednak potrzebuję pomocy dalej. Z tego, co zauważyłem, podobne są trójkąty prostokątne, których kąty proste są spodkami wysokości trójkąta, tak? Próbowałem układu równań z czterema niewiadomymi na podstawie tw. Talesa i tw. Pitagorasa, ale jakbym nie liczył to układ mi się zeruje. Proszę o wskazówki.

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Trójkąt rozwartokątny i spodki wysokości.

Post autor: Justka » 2 lip 2011, o 14:02

hint 2:    
rys.:    
w razie dalszych problemów:    

Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Trójkąt rozwartokątny i spodki wysokości.

Post autor: dawid.barracuda » 2 lip 2011, o 14:15

Nie wiem czy dobrze rozumiem.

\(\displaystyle{ 4 + h _{1} ^{2} = x ^{2}}\)

\(\displaystyle{ 9 + h _{2} ^{2} = y ^{2}}\)

I co dalej? Mam to podstawić do proporcji?

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Trójkąt rozwartokątny i spodki wysokości.

Post autor: Justka » 2 lip 2011, o 14:20

Raczej wykorzystaj dany bok AB, czyli \(\displaystyle{ AK^2=AB^2- KB^2}\) tak samo dla BL i podstaw do układu, który podałam wyżej

Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Trójkąt rozwartokątny i spodki wysokości.

Post autor: dawid.barracuda » 2 lip 2011, o 14:41

Czy ma tu być, że:

\(\displaystyle{ h _{1} = \sqrt{252 - 4b - b ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ h _{2} = \sqrt{b ^{2} - 9 }}\)

Licząc dalej w ten sposób wychodzą mi bzdury. Co do \(\displaystyle{ h _{1}}\), to wyszedłem z tego:

\(\displaystyle{ h _{1} ^{2} = 16 ^{2} - (2 + b) ^{2}}\)

To o to chodzi?

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Trójkąt rozwartokątny i spodki wysokości.

Post autor: Justka » 2 lip 2011, o 15:08

\(\displaystyle{ h_2= \sqrt{16^2-(x+3)^2}}\) i do układu \(\displaystyle{ \frac{2}{x}=\frac{3}{y}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{2}{h_1}= \frac{3}{h_2}}\).

Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Trójkąt rozwartokątny i spodki wysokości.

Post autor: dawid.barracuda » 2 lip 2011, o 15:37

Okej, wyszło tj. miało, czyli \(\displaystyle{ a = 8; b = 12}\) Dzięki ogromne za pomoc i pozdrawiam!

ODPOWIEDZ