Obliczyć obszar korzystając z tw. Greena

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
darkmiki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 2 lis 2010, o 18:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków

Obliczyć obszar korzystając z tw. Greena

Post autor: darkmiki » 1 lip 2011, o 21:57

Korzystając z twierdzenia greena obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą:
\(\displaystyle{ x(t)=2\cos{t}-\cos{2t}}\),
\(\displaystyle{ y(t)=2\sin{t}-\sin{2t}}\),
\(\displaystyle{ t\in[0,2\pi]}\)
Twierdzenie greena można zastosować tylko do obszarów normalnych względem osi. Powinienem więc wziąć górną część tego obszaru(część dla \(\displaystyle{ t \in <0,\pi>}\)) i podzielić ją na dwa obszary: \(\displaystyle{ D1}\) ograniczony przez oś \(\displaystyle{ ox}\), prostą \(\displaystyle{ x=1}\) i krzywą \(\displaystyle{ K1}\) wyznaczoną przez \(\displaystyle{ x(t), y(t)}\) dla \(\displaystyle{ t \in <0, \frac{\pi}{2} >}\) i obszar \(\displaystyle{ D2}\) ograniczony przez oś \(\displaystyle{ ox}\) i krzywą \(\displaystyle{ K2}\) wyznaczoną przez \(\displaystyle{ x(t), y(t)}\) dla \(\displaystyle{ t \in < \frac{\pi}{2}, \pi >}\) . Później obliczam całeczkę \(\displaystyle{ \frac{1}{2}( \int_{K1} -ydx+xdy + \int_{K1} -ydx+xdy)}\) i mnożę ją przez \(\displaystyle{ 2}\). Czy tak należy zrobić to zadanie?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18758
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3726 razy

Obliczyć obszar korzystając z tw. Greena

Post autor: szw1710 » 1 lip 2011, o 22:04

To taka ładna kardioida. Twierdzenie Greena siedzi w czym innym. Korzystając z niego mamy

\(\displaystyle{ |D|=\frac{1}{2}\int_K xdy-ydx,}\)

gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest brzegiem obszaru \(\displaystyle{ D}\) zorientowanym dodatnio. Zastosuj do tej calki krzywoliniowej twierdzenie Greena, a zobaczysz, jaka całka podwójna wyjdzie. Potem policz pole obszaru za pomocą tej całki krzywoliniowej, gdyż zapewne o to układającemu zadanie chodziło. Więc tw. Greena jest tu w teorii, nie w praktyce.

Dzieląc obszar na dwa obszary normalne możesz przekonać się, że na sumie obszarów normalnych jak w Twoim zadaniu zachodzi identyczny wzór.

darkmiki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 2 lis 2010, o 18:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków

Obliczyć obszar korzystając z tw. Greena

Post autor: darkmiki » 1 lip 2011, o 22:51

Innymi słowy metoda jest ok?:)

R1990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 639
Rejestracja: 25 lis 2010, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sochaczew
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 19 razy

Obliczyć obszar korzystając z tw. Greena

Post autor: R1990 » 2 lip 2011, o 00:26

A czemu chcesz to mnożyć razy 2?

darkmiki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 2 lis 2010, o 18:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków

Obliczyć obszar korzystając z tw. Greena

Post autor: darkmiki » 2 lip 2011, o 16:16

No bo chcę obliczyć pole górnej części i pomnożyć je razy dwa Możesz mi powiedzieć czy:
a)do takiej kardioidy można zastosować bez żadnych podziałów (obszaru pod kardioidą na mniejsze obszary) twierdzenie greena
b)jeśli trzeba ją podzielić, to na jakie obszary
To, co napisałeś, zrozumiałem tak, jakby do tej kardioidy można było zastosować od razu tw Greena i chcę się upewnić, czy dobrze rozumiem.

R1990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 639
Rejestracja: 25 lis 2010, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sochaczew
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 19 razy

Obliczyć obszar korzystając z tw. Greena

Post autor: R1990 » 3 lip 2011, o 11:50

Generalnie to zadanie, tak jak napisał szw1710, możesz rozwiązać dwoma metodami. Pierwsza metoda, to zastosowanie twierdzenia Greena, czyli przekształcenie tej całki na całke podwójną i wykonanie dalszych obliczeń, czyli granice i obliczenie całki. Druga metoda to zamiana całki krzywoliniowej zorientowanej na całkę pojedynczą po dt. I tutaj, chodź nie jestem w 100% pewien, przekształcasz po prostu te całke na całke po dt, bez żadnego dzielenia obszarów, tylko po prostu bezpośrednio wstawiając w odpowiednie miejsca te parametryzacje z t, które podales na samym początku.

ODPOWIEDZ