Obliczyć obszar korzystając z tw. Greena

[darkmiki]

Korzystając z twierdzenia greena obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą:
\(\displaystyle{ x(t)=2\cos{t}-\cos{2t}}\),
\(\displaystyle{ y(t)=2\sin{t}-\sin{2t}}\),
\(\displaystyle{ t\in[0,2\pi]}\)
Twierdzenie greena można zastosować tylko do obszarów normalnych względem osi. Powinienem więc wziąć górną część tego obszaru(część dla \(\displaystyle{ t \in <0,\pi>}\)) i podzielić ją na dwa obszary: \(\displaystyle{ D1}\) ograniczony przez oś \(\displaystyle{ ox}\), prostą \(\displaystyle{ x=1}\) i krzywą \(\displaystyle{ K1}\) wyznaczoną przez \(\displaystyle{ x(t), y(t)}\) dla \(\displaystyle{ t \in <0, \frac{\pi}{2} >}\) i obszar \(\displaystyle{ D2}\) ograniczony przez oś \(\displaystyle{ ox}\) i krzywą \(\displaystyle{ K2}\) wyznaczoną przez \(\displaystyle{ x(t), y(t)}\) dla \(\displaystyle{ t \in < \frac{\pi}{2}, \pi >}\) . Później obliczam całeczkę \(\displaystyle{ \frac{1}{2}( \int_{K1} -ydx+xdy + \int_{K1} -ydx+xdy)}\) i mnożę ją przez \(\displaystyle{ 2}\). Czy tak należy zrobić to zadanie?

[szw1710]

To taka ładna kardioida. Twierdzenie Greena siedzi w czym innym. Korzystając z niego mamy

\(\displaystyle{ |D|=\frac{1}{2}\int_K xdy-ydx,}\)

gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest brzegiem obszaru \(\displaystyle{ D}\) zorientowanym dodatnio. Zastosuj do tej calki krzywoliniowej twierdzenie Greena, a zobaczysz, jaka całka podwójna wyjdzie. Potem policz pole obszaru za pomocą tej całki krzywoliniowej, gdyż zapewne o to układającemu zadanie chodziło. Więc tw. Greena jest tu w teorii, nie w praktyce.

Dzieląc obszar na dwa obszary normalne możesz przekonać się, że na sumie obszarów normalnych jak w Twoim zadaniu zachodzi identyczny wzór.

[darkmiki]

Innymi słowy metoda jest ok?:)

[R1990]

A czemu chcesz to mnożyć razy 2?

[darkmiki]

No bo chcę obliczyć pole górnej części i pomnożyć je razy dwa Możesz mi powiedzieć czy:
a)do takiej kardioidy można zastosować bez żadnych podziałów (obszaru pod kardioidą na mniejsze obszary) twierdzenie greena
b)jeśli trzeba ją podzielić, to na jakie obszary
To, co napisałeś, zrozumiałem tak, jakby do tej kardioidy można było zastosować od razu tw Greena i chcę się upewnić, czy dobrze rozumiem.

[R1990]

Generalnie to zadanie, tak jak napisał szw1710, możesz rozwiązać dwoma metodami. Pierwsza metoda, to zastosowanie twierdzenia Greena, czyli przekształcenie tej całki na całke podwójną i wykonanie dalszych obliczeń, czyli granice i obliczenie całki. Druga metoda to zamiana całki krzywoliniowej zorientowanej na całkę pojedynczą po dt. I tutaj, chodź nie jestem w 100% pewien, przekształcasz po prostu te całke na całke po dt, bez żadnego dzielenia obszarów, tylko po prostu bezpośrednio wstawiając w odpowiednie miejsca te parametryzacje z t, które podales na samym początku.