Funkcja całkowalna sensie Stieltjesa

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
fala21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 20 lip 2009, o 00:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 3 razy

Funkcja całkowalna sensie Stieltjesa

Post autor: fala21 » 1 lip 2011, o 21:20

Witam. Mam problem ze zrozumieniem całki Stieltjesa. Czy mógłby mi ktoś podać jakąś prostą funkcje oraz funkcje wagową(całkowalną w sensie Stieltjesa) którą mógłbym scałkować i poczuć o o chodzi?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18752
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3725 razy

Funkcja całkowalna sensie Stieltjesa

Post autor: szw1710 » 1 lip 2011, o 21:45

Przy założeniu odpowiedniej regularności mamy

\(\displaystyle{ \int_a^b f(x)\text{d}g(x)=\int_a^b f(x)g'(x)\text{d}x}\)

Wydaje mi się, że całka Riemanna-Stieltjesa jest prototypem całki względem dowolnej miary abstrakcyjnej (czasem taka całka zwana jest całką Lebesgue'a). Otóż jest twierdzenie, że jeśli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, a funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest o wahaniu skończonym, to całka Riemanna-Stieltjesa \(\displaystyle{ \int_a^b f(x)\text{d}g(x)}\) istnieje. Np. delta Diraca \(\displaystyle{ \delta_0(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x\ne 0}\) oraz \(\displaystyle{ \delta_0(0)=1}\) ma wahanie skończone. Ile wynosi całka względem tej wagi? Jeśli \(\displaystyle{ 0\not\in[a,b],}\) to zero. Jeśli \(\displaystyle{ 0\in[a,b],}\) to rozpisując sumy całkowe można się przekonać, że \(\displaystyle{ \int_a^b f(x)\text{d}\delta_0(x)=f(0).}\) Funkcja \(\displaystyle{ \delrta_0}\) odpowiada pewnej mierze: \(\displaystyle{ \mu(A)=1,}\) gdy \(\displaystyle{ 0\in A}\) oraz \(\displaystyle{ \mu(A)=0,}\) gdy \(\displaystyle{ 0\not\in A.}\) Można łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ \int_a^b f(x)\text{d}\delta_0(x)=\int_{[a,b]} f\text{d}\mu.}\)

Dla ćwiczenia rozważ inną wagę: niech \(\displaystyle{ a_1,\dots,a_n\in[0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{R}.}\) Definiujemy \(\displaystyle{ g(x)=\sum_{i=1}^n\lambda_i\delta_{a_i}(x).}\) Ile wynosi \(\displaystyle{ \int_0^1 f(x)\text{d}g(x)?}\) Załóż ciągłość funkcji \(\displaystyle{ f,}\) żeby całka istniała.

Całka Riemanna-Stieltjsa ma zastosowanie np. w rachunku prawdopodobieństwa. Np. wartość oczekiwana zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) (dowolnej, skokowej czy ciągłej) wyraża się wzorem

\(\displaystyle{ EX=\int_{-\infty}^{\infty} x\text{d}F(x),}\)

gdzie \(\displaystyle{ F}\) oznacza dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ X.}\) Dla zmiennej losowej ciągłej mamy funkcję gęstości rozkładu \(\displaystyle{ f(x)=F'(x).}\) Wtedy

\(\displaystyle{ EX=\int_{-\infty}^{\infty} x\text{d}F(x)=\int_{-\infty}^{\infty} xF'(x)\text{d}x=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\text{d}x,}\)

a to jest znany wzór na wartość oczekiwaną.

fala21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 20 lip 2009, o 00:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 3 razy

Funkcja całkowalna sensie Stieltjesa

Post autor: fala21 » 2 lip 2011, o 13:28

Ale chodzi mi o przykład, konkretne zastosowanie całki na jakiejś funkcji.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18752
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3725 razy

Funkcja całkowalna sensie Stieltjesa

Post autor: szw1710 » 2 lip 2011, o 14:56

Przykłady podałem w poprzednim poście. Ale proszę bardzo.

\(\displaystyle{ \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x\,\text{d}\sin x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x(\sin x)'\,\text{dx}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x\cos x\,\text{d}x}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ \sin x=t}\) mamy

\(\displaystyle{ \int_0^1 t^2\,\text{d}t=\frac{1}{3}.}\)

ODPOWIEDZ