granica z cosinusem

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Awatar użytkownika
kenser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 27 lis 2010, o 22:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

granica z cosinusem

Post autor: kenser » 1 lip 2011, o 10:28

Proszę o pomoc w tym zadaniu:
Oblicz następujacą granicę: \(\displaystyle{ \lim\limits_{n \rightarrow 0}{\frac{1 - cos x}{x^2}}}\).
Ostatnio zmieniony 1 lip 2011, o 11:59 przez Justka, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

granica z cosinusem

Post autor: Justka » 1 lip 2011, o 10:32

wsk. \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{1-\cos x }{ x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)}}\)

Awatar użytkownika
kenser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 27 lis 2010, o 22:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

granica z cosinusem

Post autor: kenser » 1 lip 2011, o 11:10

kurcze...
nie wiem jak to zrobić

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

granica z cosinusem

Post autor: Funktor » 1 lip 2011, o 11:31

Justka, Szczerze mówiąc nie wiem po co ci to przekształcenie ...

kenser, zastosuj 2 razy regułę de'Hospitala

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

granica z cosinusem

Post autor: Justka » 1 lip 2011, o 11:57

Funktor, by ominąć de'Hospitala..

\(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+\cos x)(1-\cos x)}{x^2 (1+\cos x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{1}{1+\cos x} = \frac{1}{2}}\)

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

granica z cosinusem

Post autor: Funktor » 1 lip 2011, o 12:10

Justka, heh faktycznie, oddaję honor : )

Awatar użytkownika
kenser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 27 lis 2010, o 22:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

granica z cosinusem

Post autor: kenser » 1 lip 2011, o 12:21

[quote="Justka"]Funktor, by ominąć de'Hospitala..

\(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+\cos x)(1-\cos x)}{x^2 (1+\cos x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{1}{1+\cos x} = \frac{1}{2}}\)[/quote]

A mógłbyś mi wytłumaczyć skąd się to wzięło?

Pierwsze z jedynki trygonometrycznej, drugie jako pozostałość ułamka, ale wyniku nie rozumiem, bo przecież sin 0 = 0, dzielone przez 0 i podniesione do kwadratu daje... no właśnie... zero przez zero, do kwadratu musiałoby dawać 1, bo z drugiej części wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)...

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

granica z cosinusem

Post autor: ares41 » 1 lip 2011, o 12:23

kenser, a ile to jest:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{\sin{x}}{x}}\) ?

Awatar użytkownika
kenser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 27 lis 2010, o 22:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

granica z cosinusem

Post autor: kenser » 1 lip 2011, o 12:28

No właśnie teraz to zrozumiałem, że tam jest granica... Pfff
Dzięki wszystkim za pomoc

ODPOWIEDZ