Rzut ortogonalny wektora na podprzstrzeń

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
w-i-l-k
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 23 cze 2011, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

Rzut ortogonalny wektora na podprzstrzeń

Post autor: w-i-l-k » 1 lip 2011, o 08:25

Witam,
Mam problem z następującym zadaniem:
Znaleźć rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ V= \left( 7,5,5,-5\right)}\) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ W=Lin((1,2,0,2),(3,1,13,1))}\) przestrzeni unitarnej \(\displaystyle{ R^4}\) z kanonicznym iloczynem skalarnym. Gdyby dwa wektory z W były ortogonalne, to wiedziałbym co zrobić. Czy ortogonalizacja tych wektorów metodą Gramma-Schmidta nie spowoduje, że nowo powstałe wektory będą wyznaczały inną płaszczyznę? Z góry dziękuję za pomoc.

-- 1 lip 2011, o 10:49 --

Sprawdziłem i wiem już że po ortogonalizacji Grama-Schmidta nowo powstałe wektory dalej będą rozpinały tą samą płaszczyznę. Jeśli się nie mylę, to do rozwiązania tego zadania wystarczy zatem skorzystać z faktu, że rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ V}\)na podprzestrzeń rozpiętą przez wektory ortogonalne \(\displaystyle{ e_{1},...,e_{k}}\) wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ V_{0}=\frac{\left\langle v,e_{1} \right\rangle}{\left\langle e_{1},e_{1}\right\rangle}*e_{1}+...+\frac{\left\langle v,e_{k} \right\rangle}{\left\langle e_{k},e_{k} \right\rangle}*e_{k}}\). Mógłby to ktoś potwierdzić? Czy może w zadaniu jest jakiś haczyk?

norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Rzut ortogonalny wektora na podprzstrzeń

Post autor: norwimaj » 1 lip 2011, o 22:12

Wszystko w porządku.

Można też to zrobić trochę inaczej. Zapisujemy szukany rzut jako \(\displaystyle{ V_0=s(1,2,0,2)+t(3,1,13,1)}\). Warunki \(\displaystyle{ V-V_0\bot (1,2,0,2)}\) oraz \(\displaystyle{ V-V_0\bot (3,1,13,1)}\) dają układ równań, z którego można wyznaczyć \(\displaystyle{ s}\) i \(\displaystyle{ t}\).

w-i-l-k
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 23 cze 2011, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

Rzut ortogonalny wektora na podprzstrzeń

Post autor: w-i-l-k » 2 lip 2011, o 08:57

Ok, dzięki za pomoc:)

ODPOWIEDZ