ciąg cauchy i iloczyn kartezjański

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Krzysiek200017
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 2 mar 2010, o 10:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: biłgoraj/rzeszów
Podziękował: 1 raz

ciąg cauchy i iloczyn kartezjański

Post autor: Krzysiek200017 » 29 cze 2011, o 21:21

Jak pokazac ze ciąg cauchy jest ograniczony w każdej metryce i i loczyn kartezjański przestrzeni zwartych jest zwarty

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18752
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3725 razy

ciąg cauchy i iloczyn kartezjański

Post autor: szw1710 » 29 cze 2011, o 23:15

Pierwsze - banał. Weźmy \(\displaystyle{ \varepsilon=\frac{1}{2}.}\) Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n_0,n}\) mamy \(\displaystyle{ x_n\in K(x_{n_0},\varepsilon).}\) Zostało nam skończenie wiele wyrazów, które można łatwo ograniczyć. Dowód jest analogiczny do tego, że ciąg zbieżny jest ograniczony.

Drugie - twierdzenie Tichonowa. Dla produktu skończenie wielu przestrzeni znów rzecz jest trywialna. Łatwo rozważa się pokrycia otwarte i wybiera z nich podpokrycia skończone. Istotą rzeczy jest tu produkt nieskończenie wielu przestrzeni i postać topologii produktowej. Dowód znajdziesz w Engelkingu "Topologia ogólna".

ODPOWIEDZ