Moment bezwładności okręgu

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
kacierz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 22 paź 2009, o 23:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żary

Moment bezwładności okręgu

Post autor: kacierz » 29 cze 2011, o 19:59

Witam,
mam takie zadanie:
Znaleźć moment bezwładności okręgu \(\displaystyle{ (x-1)^2+y^2=1}\) względem osi \(\displaystyle{ Oy}\), jeśli gęstość liniowa masy \(\displaystyle{ \lambda(x,y)=|y|}\)

Jest to okręg o środku (1,0) i promieniu r=1. Parametryzacja jest następująca:
\(\displaystyle{ x=1+cost, y=sint, t\in[0,2\pi]}\)
\(\displaystyle{ \lambda(x,y)=|y|=|sint|= \sqrt{1-cos^2t}}\)

\(\displaystyle{ I_y= \int_{\Gamma} x^2\lambd(x,y)\ dl=\\=\int_{0}^{2\pi} (1+cost)^2 \cdot \sqrt{1-cos^2t} \cdot \sqrt{(-sint)^2+cos^2t} \ dt=\\= \int_{0}^{2\pi}(1+2cost+cos^2t) \cdot \sqrt{1-cos^2t} \ dt=\\=\int_{0}^{2\pi} (1+2cost+ \frac{1+cos2t}{2}) \cdot \sqrt{ 1- \frac{1+cos2t}{2} } \ dt=\\=\int_{0}^{2\pi}= (1+2cost+\frac{1+cos2t}{2}) \cdot \sqrt{\frac{-1-cos2t}{2}\ dt}\)

I w tym momencie poległem. Nie wiem czy coś wcześniej jest źle czy nie mogę teraz czegoś zauważyć.

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Moment bezwładności okręgu

Post autor: pyzol » 29 cze 2011, o 23:43

\(\displaystyle{ 1-\cos^2 t=\sin^2 t}\)

ODPOWIEDZ