Dystrybuanta, funkcja h, zmienna losowa h(X) i błędna(?) odp

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
jenter
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 25 mar 2006, o 21:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy

Dystrybuanta, funkcja h, zmienna losowa h(X) i błędna(?) odp

Post autor: jenter » 29 cze 2011, o 15:43

Zadanie brzmi tak:
Niech dystrybuanta \(\displaystyle{ F}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) będzie funkcją ściśle rosnącą i ciągła, a funkcja \(\displaystyle{ h}\) niech będzie różnowartościowa. Znaleźć dystrybuantę \(\displaystyle{ G}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ h(X)}\).

W odpowiedziach jest podane, że \(\displaystyle{ G(x) = F(h^{-1}(x))}\).

I to mi coś nie pasuje, bo niech np.
\(\displaystyle{ F(x)=\frac{1}{\pi}\arctan (x)+\frac{1}{2}}\) - jest to dystrybuanta jakieś zmiennej losowej, ściśle rosnącą i ciągłą,
\(\displaystyle{ h(x) = -x}\), wtedy \(\displaystyle{ h^{-1}(x)=-x}\)

Jeśli teraz weźmiemy \(\displaystyle{ G(x) = F(h^{-1}(x)) = F(-x) = \frac{1}{\pi}\arctan (-x)+\frac{1}{2}}\) - a to już dystrybuanta nie jest, chociażby dlatego, że jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

W tym samym zbiorze zadań (trochę analogiczne do powyższego): zm. los. \(\displaystyle{ X}\) ma dystr. \(\displaystyle{ F_X(x)}\). Znaleźć dystrybuantę \(\displaystyle{ Y=-X}\).
Odp.: \(\displaystyle{ F_Y(x)=1-F_X(x^+)}\) - co też mi nie pasuje... przecież \(\displaystyle{ F_Y}\) jest malejąca, więc jak może być dystrybuantą. Wg mnie poprawną odpowiedzią będzie \(\displaystyle{ F_Y(x)=1-F(-x^+)}\).

Lider Artur
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 692
Rejestracja: 19 cze 2011, o 23:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 107 razy

Dystrybuanta, funkcja h, zmienna losowa h(X) i błędna(?) odp

Post autor: Lider Artur » 29 cze 2011, o 20:09

Co to jest dystrybuanta \(\displaystyle{ h(X)}\)?
To jest \(\displaystyle{ F_{h(X)}(t)=P(h(X) \le t)}\)
przekształcając:
\(\displaystyle{ F_{h(X)}(t)=P(h(X) \le t)=P(X \le h^{-1}(t))=F_{X}(h^{-1}(t))}\)

Awatar użytkownika
jenter
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 25 mar 2006, o 21:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy

Dystrybuanta, funkcja h, zmienna losowa h(X) i błędna(?) odp

Post autor: jenter » 29 cze 2011, o 21:02

No ok. Też tak zrobiłem. Ale dalej mi nie pasuje, czemu podany przeze mnie przykład przeczy temu wyprowadzeniu. Albo nie przeczy. Ale wobec tego, gdzie jest błąd?

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Dystrybuanta, funkcja h, zmienna losowa h(X) i błędna(?) odp

Post autor: pyzol » 29 cze 2011, o 22:50

Nom, jest to prawdziwe, gdy \(\displaystyle{ h^{-1}(x)}\) jest rosnąca. Także brakło tego założenia w zadaniu...

ODPOWIEDZ