Matematyka.pl

Witam,
mam problem z następującym zadaniem:
Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ x+y+z=0}\), to:
a) \(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}+z^{3}=3xyz}\)
b) \(\displaystyle{ 2x^{4}+2y^{4}+2z^{4}=\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}\)
Jak to wykazać ?
Przepraszam jak nie w tym dziale ale nie wiedziałem gdzie to wrzucić, więc jeżeli coś nie tak, to proszę o przerzucenie do innego działu
Z góry thx za odpowiedzi

1) Zauważ, że \(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3 = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz}\)

2) Chwila zabawy ze wzorami skróconego mnożenia i otrzymujemy

\(\displaystyle{ x^4+y^4+z^4 = (x^2+y^2+z^2)^2-2((xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z)) = (x^2+y^2+z^2)^2-2(xy+yz+zx)^2 \Leftrightarrow \\ \\ 2(x^4+y^4+z^4) = (x^2+y^2+z^2)^2 + (x^2+y^2+z^2)^2 - (2xy+2yz+2zx)^2 = (x^2+y^2+z^2)^2+(x^2+y^2+z^2-2xy-2xz-2yz)(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz) = \\ \\ = (x^2+y^2+z^2)^2+(x^2+y^2+z^2-2xy-2xz-2yz)(x+y+z)^2 = (x^2+y^2+z^2)^2}\)

cnd.

Vax, jak doszedłeś do tożsamości z pierwszego???????????

Ja proponuję wszędzie podstawić \(\displaystyle{ z=-(x+y)}\), a po dwóch latach rachunków otrzymamy tezę. Przynajmniej nie trzeba znać wielu tożsamości.

Marcinek665 pisze:Vax, jak doszedłeś do tożsamości z pierwszego???????????

Podejrzewam, że to ironia, ale dla kogoś, kto nie wie jak do tego dojść polecam wzory viete'a.

, było chyba coś o tym jeszcze w którymś ze sprawozdań OMa.